湖南省株洲市茶陵二中2019-2020学年高二上学期数学第二次月考试卷

试卷更新日期：2020-09-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 数列1,3,7,15,…的通项公式 $a_{n}$ 等于（）

A、 $2^{n}$ B、 $2^{n} + 1$ C、 $2^{n} - 1$ D、 $2^{n - 1}$

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2. 在 $Δ A B C$ 中，若 $b = 12$ ， $A = 30^{\circ}$ ， $B = 90^{\circ}$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、6

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3. 下列说法正确的是（）

A、a，b∈R，且a＞b，则a²＞b² B、若a＞b，c＞d，则 $\frac{a}{c}$ ＞ $\frac{b}{d}$ C、a，b∈R，且ab≠0，则 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ ≥2 D、a，b∈R，且a＞|b|，则aⁿ＞bⁿ(n∈N^*)

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3}$ ， $a_{8}$ 是方程 $x^{2} + 3 x - 18 = 0$ 的两个根，则 $a_{5} + a_{6}$ ＝（）.

A、3 B、18 C、-3 D、-18

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5. 在三角形 $A B C$ 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（）

A、 $b = 10$ ， $A = 45 °$ ， $B = 70 °$ B、 $a = 60$ ， $c = 48$ ， $B = 60 °$ C、 $a = 7$ ， $b = 5$ ， $A = 80 °$ D、 $a = 14$ ， $b = 16$ ， $A = 45 °$

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6. 某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 $\sqrt{3}$ km，那么x的值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$

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7. 在 $\frac{1}{2}$ 和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）

A、8 B、±8 C、16 D、±16

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8. 已知 $Δ A B C$ 和点 $M$ 满足 $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ ，若存在实数 $m$ 使得 $\vec{A B} + \vec{A C} = m \vec{A M}$ 成立，则 $m =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 2 ， S_{10} = 6$ ，则 $a_{16} + a_{17} + a_{18} + a_{19} + a_{20} =$ （）

A、54 B、48 C、32 D、16

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10. 在 $Δ A B C$ 中，若 $\sqrt{3} a = 2 b \sin A$ ，则 $B$ 等于（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$ D、 $60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$

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11. 在 $△ A B C$ 中， $B = 60^{°} ， b^{2} = a c$ ，则 $△ A B C$ 一定是( )

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

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12. 若 $Δ A B C$ 的内角A，B，C的对边 $a ， b ， c$ 为满足 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c ，$ 则角A的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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二、填空题

13. 在 $Δ A B C$ 中，若三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 成等差数列，且 $b = 2$ ，则 $Δ A B C$ 外接圆半径.

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14. 在 $Δ A B C$ 中 $， A B = 2 \sqrt{3} ， A C = 2 ， A = 60^{\circ} ，$ 则 $Δ A B C$ 的面积为 .

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，且 $a_{1}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{9}$ 成等比数列，则 $\frac{a_{1} + a_{3} + a_{9}}{a_{2} + a_{4} + a_{10}}$ 的值是.

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16. 定义运算符号“ $\prod$ ”：表示若干个数相乘，例如： $\prod_{n}^{i = 1} i = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times n$ ．记 $T_{n} = \prod_{i = 1}^{n} a_{i}$ ，
其中 $a_{i}$ 为数列 ${a_{n}}$ 中的第项．

(1)、若 $a_{n} = 2 n - 1$ ，则 $T_{4} =$ ；

(2)、若 $T_{n} = n^{2} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$ ．

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三、解答题

17. 在△ $A B C$ 中，已知、、分别是三内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对应的边长，且 $b^{2} + c^{2} - a^{2} = b c .$
（Ⅰ）求角 $A$ 的大小；

（Ⅱ）若 $b = 1$ ，且△ $A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求 .

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18. 设锐角三角形 $A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a, b, c, a = 2 b \sin A$

(1)、求B的大小；

(2)、求 $\cos A + \sin C$ 的取值范围.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前项和 $S_{n} = n^{2} + 2 n$

(1)、求数列的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、设 $T_{n} = {\frac{1}{a_{1} a}}_{2} + {\frac{1}{a_{2} a}}_{3} + \frac{1}{a_{3} a_{4}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求 $T_{n}$ ．

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20. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${S_{n}}$ 的前项和为 $T_{n}$ ，满足 $T_{n} = 2 S_{n} - n^{2}, n \in N^{*}$ .

(1)、求 $a_{1}$ 的值；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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21. 已知向量 $\vec{m} = (\sin x$ ， $- 1)$ ，向量 $\vec{n} = (\sqrt{3} \cos x$ ， $- \frac{1}{2})$ ，函数 $f (x) = (\vec{m} + \vec{n}) . \vec{m}$ ．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期 $T$ ；

（Ⅱ）已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $Δ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $A$ 为锐角， $a = 2 \sqrt{3}$ ， $c = 4$ ，且 $f (A)$ 恰是 $f (x)$ 在 $[0$ ， $\frac{π}{2}]$ 上的最大值，求 $A$ ， $b$ 和 $Δ A B C$ 的面积 $S$ ．

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22. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a_n= $\frac{1}{2}$ (3n+S_n)对一切正整数n成立
（I）证明：数列{3+a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；

（II）设 $b_{n} = \frac{n}{3} a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和B_n；

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