湖南省湘南教研联盟2019-2020学年高二上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-09-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x - 1 | < 2}$ ， $B = {x | \log_{2} x > 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1 ， 3)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(- 1 ， 4)$

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2. 设向量 $\overset{⇀}{a} = (2, m)$ ， $\overset{⇀}{b} = (1, - 1)$ ，若 $\overset{⇀}{b} ⊥ (\overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b})$ ，则实数 $m$ 等于（）

A、2 B、4 C、6 D、-3

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为q的等比数列，且 $a_{1}, a_{3}, a_{2}$ 成等差数列，则公比q的值为（）

A、 $1, - \frac{1}{2}$ B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

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4. 已知 $sin (\frac{3 π}{2} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (π - 2 α)$ 的值等于（）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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5. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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6. 已知m为非零实数，则“ $\frac{1}{m} < - 1$ ”是“ $m > - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 下列命题中，真命题的是（）

A、 $\forall x \in (0, + \infty), x^{2} > 1$ B、 $\exists x \in (1, + \infty), \lg x = - x$ C、 $\forall a \in (0, + \infty), a^{2} > a$ D、 $\exists a \in (0, + \infty), x^{2} + a > 1$ 对 $x \in R$ 恒成立

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8. 已知正数a，b满足a+b=3.则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b + 1}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、 $\frac{34}{15}$ C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{9}{2}$

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9. 已知直线 $y = x + 1$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点 $M$ 的横坐标为 $1$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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10. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D$ ，以 $A$ ， $B$ 为焦点的双曲线经过 $C$ ， $D$ 两点，则此双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ D、 $1 + \frac{\sqrt{5}}{2}$

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，上顶点为 $A$ ，左顶点为 $B$ ， $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，且 $Δ F_{1} A B$ 的面积为 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ ，点 $P$ 为椭圆上的任意一点，则 $\frac{1}{| P F_{1} |} + \frac{1}{| P F_{2} |}$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 2]$ B、 $[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$ C、 $[\sqrt{2}, 4]$ D、 $[1, 4]$

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12. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $M (x_{0}, 2 \sqrt{2}) (x_{0} > \frac{p}{2})$ 是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线 $x = \frac{p}{2}$ 交于E，G两点，若 $s i n ∠ M F G = \frac{1}{3}$ ，则抛物线C的方程是（）

A、 $y^{2} = x$ B、 $y^{2} = 2 x$ C、 $y^{2} = 4 x$ D、 $y^{2} = 8 x$

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二、填空题

13. 有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红､黄､蓝､绿､紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为.

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14. 若命题“∃t∈R，t²-2t-a＜0”是假命题，则实数a的取值范围是 .

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15. 设抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $M$ 为抛物线 $C$ 上一点， $N (2, 2)$ ，则 $| M F | + | M N |$ 的取值范围是.

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16. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点 $P$ ，若 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则双曲线的离心率为.

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三、解答题

17. 已知命题p：方程 $x^{2} - 2 \sqrt{2} x + m = 0$ 有两个不相等的实数根；命题q： $2^{m + 1} < 4$ ．

(1)、若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，求实数m的取值范围．

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18. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} = - 4$ ，且 $a_{2} + 5, a_{3} + 3, a_{4} + 1$ 成等比数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$

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19. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $2 \cos C (a \cos B + b \cos A) = c$ .

(1)、求C；

(2)、若 $a + b = 5$ ， $c = \sqrt{7}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 已知M,N是焦点为F的抛物线y²=2px(p>0)上两个不同的点,线段MN的中点A的横坐标为 $4 - \frac{p}{2}$ .

(1)、求|MF|+|NF|的值;

(2)、若p=2,直线MN与x轴交于点B,求点B的横坐标的取值范围.

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21. 如图，过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于点 $P$ ，点 $A$ 和点 $B$ 分别为椭圆的右顶点和上顶点， $O P / / A B$ ．

(1)、求椭圆的离心率 $e$ ；

(2)、过右焦点 $F_{2}$ 作一条弦 $Q R$ ，使 $Q R ⊥ A B$ ，若 $△ F_{1} Q R$ 的面积为 $20 \sqrt{3}$ ，求椭圆的方程．

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22. 从抛物线 $y^{2} = 36 x$ 上任意一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线段垂足为 $Q$ ，点 $M$ 是线段 $P Q$ 上的一点，且满足 $\vec{P M} = 2 \vec{M Q}$ .

(1)、求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $x = m y + 1 (m \in R)$ 与轨迹 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，点 $T$ 为轨迹 $C$ 上异于 $A 、 B$ 的任意一点，直线 $A T 、 B T$ 分别与直线 $x = - 1$ 交于 $D 、 E$ 两点.问： $x$ 轴正半轴上是否存在定点使得以 $D E$ 为直径的圆过该定点？若存在，求出符合条件的定点坐标；若不存在，请说明理由.

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