湖南省湘南教研联盟2019-2020学年高二上学期数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2020-09-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知命题 $p ：$ 对任意 $x \in R$ ，都有 $c o s x \leq 1$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $c o s x_{0} \leq 1$ B、对任意 $x \in R$ ，都有 $c o s x > 1$ C、存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $c o s x_{0} > 1$ D、存在 $x_{0} \in R$ ，使得 $c o s x_{0} \geq 1$

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2. 设 $φ \in R$ ，则“ $f (x) = \cos (x + φ) (x \in R)$ 为偶函数”是“ $φ = π$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若向量 $\overset{⇀}{a} = (0, 1, - 1), \overset{⇀}{b} = (1, 1, 0)$ ，且 $(\overset{⇀}{a} + λ \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{a}$ ，则实数 $λ$ 的值是（）

A、-1 B、0 C、-2 D、1

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4. 为了解某社区居民有无收看“青运会开幕式”，某记者分别从某社区 $60 \sim 70$ 岁， $40 \sim 50$ 岁， $20 \sim 30$ 岁的三个年龄段中的 $160$ 人， $x$ 人， $200$ 人中，采用分层抽样的方法共抽查了 $30$ 人进行调查，若在 $60 \sim 70$ 岁这个年龄段中抽查了 $8$ 人，那么 $x$ 为（）

A、 $120$ B、 $180$ C、220 D、 $240$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，则 $a_{2020} =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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6. 设曲线y=sinx上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x²g（x）的部分图象可以为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A B = \sqrt{2} B B_{1}$ ，则 $A B_{1}$ 与 $C_{1} B$ 所成角的大小为（）

A、 $60^{\circ}$ B、 $75^{\circ}$ C、 $105^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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8. 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x = 0$ 外切，又与 $y$ 轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（）

A、 $y^{2} = 8 x$ B、 $y^{2} = 8 x$ （ $x > 0$ ）和 $y = 0$ C、 $y^{2} = 8 x$ （ $x > 0$ ） D、 $y^{2} = 8 x$ （ $x > 0$ ）和 $y = 0$ （ $x < 0$ ）

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9. 五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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10. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左、右焦点， $M$ 为椭圆上一点，若满足 $Δ M F_{1} F_{2}$ 内切圆的周长等于 $3 π$ 的点 $M$ 恰好有2个，则 $a^{2} =$ （）

A、20 B、25 C、36 D、48

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11. 已知在实数集 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ ，满足 $f (x + 2)$ 是奇函数，且 $\frac{1}{f^{'} (x)} > 2$ ，则不等式 $f (x ） > \frac{1}{2} x - 1$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(2 ， + \infty)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 2)$

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12. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点， $O$ 为坐标原点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且满足 $| F_{1} F_{2} | = 2 | O P |$ ， $\tan ∠ P F_{2} F_{1} \geq 4$ ，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(1, \frac{\sqrt{17}}{3}]$ B、 $[\frac{\sqrt{17}}{3}, + \infty)$ C、 $(1, \frac{17}{9}]$ D、 $[\frac{17}{9}, + \infty)$

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二、填空题

13. 若函数 $f (x) = e^{x} - (a - 1) x + 1$ 在 $[0 ， 1]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 设抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点 $P$ 到 $y$ 轴的距离是 $4$ ，则点 $P$ 到该抛物线焦点的距离是．

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15. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B_{1} C$ 和 $C_{1} D$ 与底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成的角分别为 $60^{\circ}$ 和 $45^{\circ}$ ，则直线 $C_{1} D$ 与平面 $C B_{1} D_{1}$ 所成的角的余弦值为．

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16. 若对于曲线f(x)＝－e^x－x(e为自然对数的底数)的任意切线l₁ ，总存在曲线g(x)＝ax＋2cosx的切线l₂ ，使得l₁⊥l₂ ，则实数a的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知命题 $p : \exists x \in R$ ，使 $x^{2} + (a - 1) x + 1 < 0$ ；命题 $q : \forall x \in [2, 4]$ ，使 $\log_{2} x - a \geq 0$ .

(1)、若命题 $p$ 为假命题，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 为真命题， $p \land q$ 为假命题，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $b \cos A = - (2 c + a) \cos B$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 6$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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19. 某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近

5

个季度的销售额数据统计如下表（其中

2018 Q 1

表示

2018

年第一季度，以此类推）：

季度	$2018 Q 1$	$2018 Q 2$	$2018 Q 3$	$2018 Q 4$	$2019 Q 1$
季度编号x	1	2	3	4	5
销售额y（百万元）	46	56	67	86	96

附：线性回归方程： $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \hat{y} - \hat{b} x$

参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 1183$ .

(1)、公司市场部从中任选2个季度的数据进行对比分析，求这2个季度的销售额都超过6千万元的概率；

(2)、求

y

关于

x

的线性回归方程，并预测该公司

2019 Q 3

的销售额.

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20. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ ， $M$ ， $N$ 分别是棱 $A B$ ， $A D$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ ， $Q$ 分别在棱 $D D_{1}$ ， $B B_{1}$ 上移动，且 $D P = B Q = λ (0 < λ < 2)$ .

(1)、当 $λ = 1$ 时，证明：直线 $B C_{1} / /$ 平面 $E F P Q$ ；

(2)、是否存在 $λ$ ，使面 $E F P Q$ 与面 $P Q M N$ 所成的二面角为直二面角？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，说明理由.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，上顶点为 $M$ ，直线 $F M$ 的斜率为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且原点到直线 $F M$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若不经过点 $F$ 的直线 $l$ ： $y = k x + m (k 〈 0, m 〉 0)$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切.试探究 $Δ A B F$ 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} - m (1 - \frac{1}{x^{2}})$

(1)、若 $m = 0$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq 0$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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