福建省三明市三地三校2019-2020学年高二上学期数学联考协作卷试题试卷

试卷更新日期：2020-09-04 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知a，b，c都是实数，则在命题“若a>b，则ac²>bc²”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（）

A、4 B、2 C、1 D、0

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2. 已知 $p : x = 1$ 且 $y = 2$ ， $q : x + y = 3$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设命题 $P ： \exists n \in N ， n^{2} > 2^{n}$ ，则 $\neg P$ 为（）

A、 $\forall n \in N ， n^{2} > 2^{n}$ B、 $\exists n \in N ， n^{2} \leq 2^{n}$ C、 $\forall n \in N ， n^{2} \leq 2^{n}$ D、 $\exists n \in N ， n^{2} = 2^{n}$

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4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知动点 $P (x, y)$ 到两定点 $F_{1} (- 4, 0), F_{2} (4, 0)$ 的距离之和是10，则点 $P$ 的轨迹方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{16} = 1$

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5. 抛物线 $x^{2} = y$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， 0)$ D、 $(\frac{1}{4} ， 0)$

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6. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有公共焦点，则m取值为（）

A、－2 B、1 C、2 D、3

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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8. 已知向量 $\vec{a} = (2, 3, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 0)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 等于（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、9

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9. 已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是（）

A、 $\overset{⇀}{O M} = \overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C}$ B、 $\overset{⇀}{O M} = \overset{⇀}{O A} + 2 \overset{⇀}{O B} + 3 \overset{⇀}{O C}$ C、 $\overset{⇀}{O M} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{O C}$ D、 $\overset{⇀}{O M} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{O C}$

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10. 如图，空间四边形OABC中， $\overset{⇀}{O A} = \overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{b} ， \overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{c}$ ，点M是OA的中点，点N在BC上，且 $\overset{⇀}{C N} = 2 \overset{⇀}{N B}$ ，设 $\overset{⇀}{M N} = x \overset{⇀}{a} + y \overset{⇀}{b} + z \overset{⇀}{c}$ ，则x，y，z的值为（）

A、 $\frac{1}{2} ， \frac{1}{3} ， \frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2} ， \frac{2}{3} ， \frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{2} ， \frac{2}{3} ， \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{2} ， \frac{1}{3} ， \frac{2}{3}$

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11. 已知直线 $y = k x + 2$ 与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 4$ 的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是（）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(- \sqrt{2} ， \sqrt{2})$ C、 $(1 ， \sqrt{2})$ D、 $(- \sqrt{2} ， - 1)$

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12. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，若|MD|= $\sqrt{3}$ ，则抛物线方程是（）

A、 $y^{2} = x$ B、 $y^{2} = 2 x$ C、 $y^{2} = 4 x$ D、 $y^{2} = 8 x$

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二、填空题

13. 椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 的焦点在x轴上，焦距为8，则该椭圆的离心率为．

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14. 已知命题p： $\exists x \in R ， x^{2} + m x + 1 = 0$ ；命题q： $\forall x \in R ， 4 x^{2} + 4 (m - 2) x + 1 > 0$ ．若命题p∨q为真命题，﹁p为真命题，则实数m的取值范围是．

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点分别为F₁ ，F₂ ，点P是椭圆上的一点，若PF₁ ⊥PF₂ ，则△F₁PF₂的面积是．

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16. 设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上，记 $\frac{D_{1} P}{D_{1} B}$ ＝λ.当∠APC为钝角时，λ的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知 $p : x^{2} - x - 6 > 0$ ， $q : (x - a - 1) (x - a + 1) > 0$ ，若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知空间三点 $A (2, - 5, 1), B (2, - 2, 4), C (1, - 4, 1)$ ．

(1)、求向量 $\overset{⇀}{A B}$ 与 $\overset{⇀}{A C}$ 的夹角；

(2)、若 $(\overset{⇀}{A B} - k \overset{⇀}{A C}) ⊥ (\overset{⇀}{A B} + k \overset{⇀}{A C})$ ，求实数 $k$ 的值．

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19. 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，棱长为2，M，N分别为A₁B，AC的中点．

(1)、证明：MN//B₁C；

(2)、求A₁B与平面A₁B₁CD所成角的大小．

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20. 如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC， $A B = B C = A C = 4$ ，AD＝CD＝ $2 \sqrt{2}$ ，O是AC的中点，E是BD的中点．

(1)、证明：DO⊥底面ABC；

(2)、求二面角D-AE-C的余弦值．

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21. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的经过点 $M (3 ， 2 \sqrt{3})$ ．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若|AB|＝8，求直线l的方程．

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点为 $F (1 ， 0)$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点M ，使得 $\overset{⇀}{M A} \cdot \overset{⇀}{M B} = - \frac{11}{9}$ 恒成立？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

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