四川省绵阳市涪城区2019-2020学年九年级上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2020-09-01 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若 $x^{2} = 4$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、-2或2 D、 $\frac{1}{2}$

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2. 如图 $E F$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $D ， A 、 B$ 为 $⊙ O$ 上点，则下列说法中错误的（）

A、 $∠ A O B$ 是圆心角 B、 $∠ A D B$ 是圆周角 C、 $∠ B D F$ 是圆周角 D、 $∠ B O D$ 是圆心角

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3. 下列对于抛物线 $y = - 3 x^{2} + 12 x - 3$ 的描述错误的是（）

A、开口向下 B、对称轴是 $x = 2$ C、与 $y$ 轴交于 $(0, - 3)$ D、顶点是 $(- 2, 9)$

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4. 绵阳城市形象标识今年正式发布，其图案如下图，图案由四部分构成，其中是中心对称图形的有（）部分

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦，如果 $∠ A C D = 37^{\circ}$ ，那么 $∠ B A D =$ （）

A、 $51^{\circ}$ B、 $53^{\circ}$ C、 $x_{2} = - 2$ D、 $60^{\circ}$

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6. 如果关于x的一元二次方程 $x^{2} - x + \frac{1}{4} m - 1 = 0$ 有实数根，那么m的取值范围是（）

A、 $m \leq 5$ B、 $m \leq 2$ C、 $m < 5$ D、 $m < 2$

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7. 在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加美感,按此比例，如果雕像的身高为3米，设雕像的上部为x米,根据其比例关系可得其方程应为（）

A、 $x^{2} - 9 x + 9 = 0$ B、 $x^{2} - 3 x + 9 = 0$ C、 $x^{2} + 9 x - 9 = 0$ D、 $x^{2} - 6 x + 9 = 0$

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8. 如图将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 得到相应的 $△ A D E ，$ 若点D恰在线段 $B C$ 的延长线上，则下列选项中错误的是（）

A、 $∠ B A D = ∠ C A E$ B、 $∠ A C B = 120^{\circ}$ C、 $∠ A B C = 45^{\circ}$ D、 $∠ C D E = 90^{\circ}$

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9. 已知x是方程 $x^{2} + 2 x - 2 = 0$ 的根，那么代数式 $(\frac{5}{x - 2} - x - 2) \div \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x}$ 的值是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、 $\sqrt{3} - 1 或 - \sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{3} + 1 或 \sqrt{3} - 1$

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10. 若点 $M (m, n)$ 是抛物线 $y = - 2 x^{2} + 2 x - 3$ 上的点,则 $m - n$ 的最小值是（）

A、 $0$ B、 $\frac{15}{8}$ C、 $\frac{23}{8}$ D、 $- 3$

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11. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{7}{2} x + 3$ 与直线 $y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 交于 $A ， B$ 两点，点C为y轴上点，当 $△ A B C$ 周长最短时；周长的值为（）

A、 $\sqrt{73} + 5 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{73} + 3 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{43} + 3 \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{43} + 5 \sqrt{3}$

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12. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中 $， A (- 3 ， 0) ， B (3 ， 0)$ ，若在直线 $y = - x + m$ 上存在点 $P$ 满足 $∠ A P B = 60 °$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $\sqrt{6} - 5 \sqrt{3} \leq m \leq \sqrt{6} + 5 \sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{6} - 5 \sqrt{3} \leq m \leq \sqrt{6} + 5 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3} - 2 \sqrt{6} \leq m \leq \sqrt{3} + 2 \sqrt{6}$ D、 $- \sqrt{3} - 2 \sqrt{6} \leq m \leq \sqrt{3} + 2 \sqrt{6}$

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二、填空题

13. 分解因式：1﹣x²= ．

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14. 将抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 3$ 向左平移 $3$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位后新的抛物线的顶点坐标是．

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15. 在圆中，直径 $A B = 6 ， C 、 D$ 为圆上点，且 $C D / / A B$ ，若如图分布的6个圆心在 $A B$ 上且大小相等的小圆均与 $C D$ 相切，则CD= ．

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16. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5$ 的对称轴是 $x = 1$ ,若关于x的方程 $a x^{2} + b x - 7 = 0$ 的一个根是4,那么该方程的另一个根是．

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17. 如图 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 5 ， A B = 6$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $A C$ 交于点D，若E为 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，则 $D E =$

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18. 如图为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象，直线 $y = t (t > 0)$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点， $A ， B$ 两点横坐标分别为 $m ， n$ 根据函数图象信息有下列结论：
① $a b c > 0$ ；

②若对于 $t > 0$ 的任意值都有 $m < - 1$ ，则 $a \geq 1$ ；

③ $m + n = 1$ ；

④ $m < - 1$ ；

⑤当t为定值时若a变大，则线段 $A B$ 变长

其中，正确的结论有(写出所有正确结论的番号)

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三、解答题

19. 解下列方程：

(1)、 ${(2 x - 1)}^{2} = {(3 - x)}^{2}$

(2)、 $x^{2} - 4 x - 7 = 0$

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20. 已知关于x的方程 $3 x^{2} - m x + 2 = 0$

(1)、若方程有两相等实数根,求m的取值;

(2)、若方程其中-根为 $\frac{2}{3}$ ,求其另一根及m的值.

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21. 如图在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (6 ， 0) ， B (6 ， 6)$ ，将 $R t △ O A B$ 绕点O逆时针旋转 $120^{\circ}$ 后得到 $R t △ O A_{1} B_{1}$

(1)、填空： $∠ A_{1} O B =$

(2)、求 $A_{1}$ 的坐标；

(3)、求 $B_{1}$ 的坐标.

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22. 生产商对在甲、乙两地生产并销售的某产品进行研究后发现如下规律:每年年产量为x(吨)时所需的全部费用y(万元)与x满足关系式 $y = \frac{1}{10} x^{2} + 5 x + 90$ ,投人市场后当年能全部售10出，且在甲、乙两地每吨的售价 $P_{甲} ， P_{乙}$ (万元)均与x满足一次函数关系.(注:年利润=年销售额-全部费用)

(1)、当在甲地生产并销售x吨时,满足 $P_{甲} = - \frac{1}{20} x + 14$ ，求在甲地生成并销售20吨时利润为多少万元；

(2)、当在乙地生产并销售x吨时, $P_{乙} = - \frac{1}{10} x + 15$ ,求在乙地当年的最大年利润应为多少万元?

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23. 如图， $A ， B ， C ， D$ 在 $⊙ O$ 上， $A B / / C D$ 经过圆心O的线段 $E F ⊥ A B$ 于点F，与 $C D$ 交于点E.

(1)、如图1，当 $⊙ O$ 半径为 $5 ， C D = 4 \sqrt{6}$ ，若 $E F = B F$ ，求弦 $A B$ 的长；

(2)、如图2，当 $⊙ O$ 半径为 $\sqrt{30}$ ， $C D = 2 \sqrt{6}$ ，若 $O B ⊥ O C$ ，求弦 $A C$ 的长.

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24. 如图将正方形 $A B C D$ 绕点A顺时针旋转角度 $α (0^{\circ} < α < 90^{\circ})$ 得到正方形 $A B' C' D'$ .

(1)、如图1， $B' C'$ 与 $A C$ 交于点 $M ， C' D'$ 与 $A D$ 所在直线交于点N，若 $M N / / B' D'$ ，求 $α$ ；

(2)、如图2， $C' B'$ 与 $C D$ 交于点Q，延长 $C' B'$ 与 $B C$ 交于点P，当 $α = 30^{\circ}$ 时.
①求 $∠ D A Q$ 的度数；

②若 $A B = 6 ，$ 求 $P Q$ 的长度.

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25. 如图在平面直角坐标系 $x O y$ 中，二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 与x轴交于点 $A (10 ， 0)$ ，点 $B (1 ， 2)$ 是抛物线上点，点M为射线 $O B$ 上点(不含 $O ， B$ 两点)，且 $M H ⊥ x$ 轴于点H.

(1)、求直线 $O B$ 及抛物线解析式；

(2)、如图，过点 $M$ 作 $M C / / x$ 轴，且与抛物线交于 $C ， D$ 两点(D位于C左边)，若 $M C = M H$ ，点Q为直线 $B C$ 上方的抛物线上点，求 $O B Q C$ 面积的最大值，并求出此时点Q的坐标；

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