广西北部湾经济区2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-09-01 类型：中考真卷

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一、选择题

1. 下列实数是无理数的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1$ C、 $0$ D、 $- 5$

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2. 下列图形是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2020年2月至5月，由广西教育厅主办，南宁市教育局承办的广西中小学“空中课堂”是同期全国服务中小学学科最齐、学段最全、上线最早的线上学习课程，深受广大师生欢迎.其中某节数学课的点击观看次数约 $889000$ 次，则数据 $889000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $88.9 \times 10^{3}$ B、 $88.9 \times 10^{4}$ C、 $8.89 \times 10^{5}$ D、 $8.89 \times 10^{6}$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $2 x^{2} + x^{2} = 2 x^{4}$ B、 $x^{3} \cdot x^{2} = 2 x^{3}$ C、 ${(x^{2})}^{3} = x^{2}$ D、 $2 x^{7} \div x^{5} = 2 x^{2}$

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5. 以下调查中，最适合采用全面调查的是（）

A、检测长征运载火箭的零部件质量情况 B、了解全国中小学生课外阅读情况 C、调查某批次汽车的抗撞击能力 D、检测某城市的空气质量

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6. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C ， ∠ B = 80 °$ ，观察图中尺规作图的痕迹，则 $∠ D C E$ 的度数为（）

A、 $60^{\circ}$ B、 $65^{\circ}$ C、 $70^{\circ}$ D、 $75^{\circ}$

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8. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，则它获得食物的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 120$ ，高 $A D = 60$ ，正方形 $E F G H$ 一边在 $B C$ 上，点 $E ， F$ 分别在 $A B ， A C$ 上， $A D$ 交 $E F$ 于点 $N$ ，则 $A N$ 的长为（）

A、 $15$ B、 $20$ C、 $25$ D、 $30$

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10. 甲、乙两地相距 $600 k m$ ，提速前动车的速度为 $v k m / h$ ，提速后动车的速度是提速前的 $1.2$ 倍，提速后行车时间比提速前减少 $20 m i n$ ，则可列方程为（）

A、 $\frac{600}{v} - \frac{1}{3} = \frac{600}{1.2 v}$ B、 $\frac{600}{v} = \frac{600}{1.2 v} - \frac{1}{3}$ C、 $\frac{600}{v} - 20 = \frac{600}{1.2 v}$ D、 $\frac{600}{v} = \frac{600}{1.2 v} - 20$

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11. 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读 $k u n$ ，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙 $C D$ 的距离为 $2$ 寸，点 $C$ 和点 $D$ 距离门槛 $A B$ 都为 $1$ 尺( $1$ 尺 $= 10$ 寸)，则 $A B$ 的长是（）

A、 $50.5$ 寸 B、 $52$ 寸 C、 $101$ 寸 D、 $104$ 寸

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12. 如图，点 $A ， B$ 是直线 $y = x$ 上的两点，过 $A ， B$ 两点分别作 $x$ 轴的平行线交双曲线 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 于点 $C ， D$ .若 $A C = \sqrt{3} B D$ ，则 $3 O D^{2} - O C^{2}$ 的值为（）

A、 $5$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $4$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 如图，数轴上所表示的x的取值范围为．

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14. 计算： $\sqrt{12} - \sqrt{3}$ .

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15. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：

射击次数	$20$	$40$	$100$	$200$	$400$	$1000$
“射中 $9$ 环以上”的次数	$15$	$33$	$78$	$158$	$321$	$801$
“射中 $9$ 环以上”的频率(结果保留小数点后两位)	$0.75$	$0.83$	$0.78$	$0.79$	$0.80$	$0.80$

根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是(结果保留小数点后一位).

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16. 如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区共有 $8$ 排，其中第 $1$ 排共有 $20$ 个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有 $10$ 排，则该礼堂的座位总数是.

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17. 在平面直角坐标系中，以原点为对称中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点B，则点B的坐标为.

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18. 如图，在边长为 $2 \sqrt{3}$ 的菱形 $A B C D$ 中， $∠ C = 60 °$ ，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， A D$ 上的动点，且 $A E = D F ， D E$ 与 $B F$ 交于点 $P$ .当点 $E$ 从点 $A$ 运动到点 $B$ 时，则点 $P$ 的运动路径长为.

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三、解答题

19. 计算： $- (- 1) + 3^{2} \div (1 - 4) \times 2$ .

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20. 先化简，再求值： $\frac{x + 1}{x} \div (x - \frac{1}{x})$ ，其中 $x = 3$ .

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21. 如图，点 $B ， E ， C ， F$ 在一条直线上， $A B = D E ， A C = D F ， B E = C F$ .

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ；

(2)、连接 $A D$ ，求证：四边形 $A B E D$ 是平行四边形.

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22. 小手拉大手，共创文明城.某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取 $20$ 份答卷，并统计成绩(成绩得分用 $x$ 表示，单位：分)，收集数据如下：
$90 ， 82 ， 99 ， 86 ， 98 ， 96 ， 90 ， 100 ， 89 ， 83$

$87 ， 88 ， 81 ， 90 ， 93 ， 100 ， 100 ， 96 ， 92 ， 100$

整理数据：

$80 \leq x < 85$

$85 \leq x < 90$

$90 \leq x < 95$

$95 \leq x \leq 100$

$3$

$4$

$a$

$8$

分析数据：

平均分

中位数

众数

$92$

$b$

$c$

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、直接写出上述表格中 $a ， b ， c$ 的值；

(2)、该校有 $1600$ 名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于 $90$ 分的人数是多少？

(3)、请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义.

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23. 如图，一艘渔船位于小岛 $B$ 的北偏东 $30^{\circ}$ 方向，距离小岛 $40 n m i l e$ 的点 $A$ 处，它沿着点 $A$ 的南偏东 $15^{\circ}$ 的方向航行.

(1)、渔船航行多远距离小岛 $B$ 最近(结果保留根号)？

(2)、渔船到达距离小岛 $B$ 最近点后，按原航向继续航行 $20 \sqrt{6} n m i l e$ 到点 $C$ 处时突然发生事故，渔船马上向小岛 $B$ 上的救援队求救，问救援队从 $B$ 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？

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24. 倡导垃圾分类，共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出

A

型和

B

型两款垃圾分拣机器人，已知

2

台

A

型机器人和

5

台

B

型机器人同时工作

2 h

共分拣垃圾

3.6

吨，

3

台

A

型机器人和

2

台

B

型机器人同时工作

5 h

共分拣垃圾

8

吨.

(1)、1台

A

型机器人和

1

台

B

型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？

(2)、某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批

A

型和

B

型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾

20

吨.设购买

A

型机器人

a

台

(10 \leq a \leq 45)

，

B

型机器人

b

台，请用含

a

的代数式表示

b

；

(3)、机器人公司的报价如下表：

型号	原价	购买数量少于 $30$ 台	购买数量不少于 $30$ 台
$A$ 型	$20$ 万元/台	原价购买	打九折
$B$ 型	$12$ 万元/台	原价购买	打八折

在 $(2)$ 的条件下，设购买总费用为 $w$ 万元，问如何购买使得总费用 $w$ 最少？请说明理由.

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25. 如图，在 $△ A C E$ 中，以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $C E$ 于点 $D ，$ 连接 $A D ，$ 且 $∠ D A E = ∠ A C E ，$ 连接 $O D$ 并延长交 $A E$ 的延长线于点 $P ， P B$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ .

(1)、求证： $A P$ 是 $⊙ O$ 的切线：

(2)、连接 $A B$ 交 $O P$ 于点 $F$ ，求证： $△ F A D \sim △ D A E$ ；

(3)、若 $t a n ∠ O A F = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{A E}{A P}$ 的值.

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26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1} ： y = x + 1$ 与直线 $l_{2} ： x = - 2$ 相交于点 $D$ ，点 $A$ 是直线 $l_{2}$ 上的动点，过点 $A$ 作 $A B ⊥ l_{1}$ 于点 $B$ ，点 $C$ 的坐标为 $(0 ， 3)$ ，连接 $A C ， B C$ .设点 $A$ 的纵坐标为 $t$ ， $△ A B C$ 的面积为 $s$ .

(1)、当 $t = 2$ 时，请直接写出点 $B$ 的坐标；

(2)、 $s$ 关于 $t$ 的函数解析式为 $s = {\begin{cases} \frac{1}{4} t^{2} + b t - \frac{5}{4} ， t ⟨ - 1 或 t ⟩ 5 \\ a (t + 1) (t - 5) ， - 1 < t < 5 \end{cases}$ 其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出 $a$ 与 $b$ 的值；

(3)、在 $l_{2}$ 上是否存在点 $A$ ，使得 $△ A B C$ 是直角三角形？若存在，请求出此时点 $A$ 的坐标和 $△ A B C$ 的面积；若不存在，请说明理由.

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$80 \leq x < 85$	$85 \leq x < 90$	$90 \leq x < 95$	$95 \leq x \leq 100$
$3$	$4$	$a$	$8$

平均分	中位数	众数
$92$	$b$	$c$