湖南省湖湘教育三新探索协作体2019-2020学年高一上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2020-08-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $U = {x | | x | < 4, x \in Z}$ ， $A = {1, 2, 3}$ ， $B = {- 2, - 1, 2}$ ，则 $A \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1, 3}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${- 3, 1, 2, 3}$ D、 ${- 3, 0, 1, 2, 3}$

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2. 下列说法正确的是（）

A、四边形一定是平面图形 B、棱锥的侧面的个数与底面的边数相等 C、所有的几何体的表面都能展成平面图形 D、棱柱的各条棱都相等

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3. 若 $a = {(1.1)}^{- \frac{1}{2}}$ ， $b = {(0.9)}^{- \frac{1}{2}}$ ， $c = \log_{1.1} 0.6$ ，则它们的大小顺序是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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4. 设函数 $y = x^{2}$ 与 $y = {(\frac{1}{2})}^{x - 2}$ 的图象的交点为 $(x_{0}, y_{0})$ ，则 $x_{0}$ 所在的区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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5. 集合 $A = {x | x^{2} + a x + a = 0} \subseteq {1}$ ，则 $a$ 为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $a \in (0, 4)$ C、 $a \in (- \infty, 0) \cup [4, + \infty)$ D、 $a \in {- \frac{1}{2}} \cup (0, 4)$

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6. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则在 $(- 2 ， 0)$ 上，下列函数中与 $f (x)$ 的单调性不同的是（）

A、 $y = 1 + x^{2}$ B、 $y = \frac{1}{x}$ C、 $y = {\begin{array}{l} e^{x} ， x \geq 0 \\ e^{- x} ， x < 0 \end{array}$ D、 $y = \frac{x - 1}{x + 2}$

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7. 已知 $f (x)$ 是偶函数，它在 $[0, + \infty)$ 上是增函数.若 $f (\lg x) < f (- 1)$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{10}, 1)$ B、 $(0, \frac{1}{10}) \cup (10, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{10}, 10)$ D、 $(0, 1) \cup (10, + \infty)$

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8. 设函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x + 4$ 在 $[m ， n]$ 上的值域是 $[1 ， 5]$ ，则 $m + n$ 的取值所组成的集合为（）

A、 $[0 ， 4]$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[- 1 ， 4]$

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9. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ，若使 $Δ A B C$ 绕直线 $A B$ 旋转一周，所形成的几何体的体积是（）

A、 $6 π$ B、 $8 π$ C、 $4 π$ D、 $24 π$

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10. 如图，已知在四面体 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $A C$ 、 $B D$ 的中点，若 $C D = 8$ ， $E F = 2$ ， $E F ⊥ A B$ ，则 $A B$ 与 $C D$ 所成的角为（）

A、 $90^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} + \frac{1}{2}, x \leq 0 \\ \log_{\frac{1}{2}} x, x > 0 \end{array}$ ，且 $f (m) = 0$ ，则不等式 $f (x) > m$ 的解集为（）

A、 $(0, \frac{1}{2})$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- 1, \frac{1}{2})$ D、 $(- 1, + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + 2 ， x \geq 0 \\ | \log_{2} (- x) | ， x < 0 \end{array}$ ，若 $f (x) = a$ 有四个不等实根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，求 $\frac{x_{3} + x_{4}}{x_{2}} - x_{1} x_{2}^{2}$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty ， - 3)$ B、 $(- 3 ， + \infty)$ C、 $[- \frac{63}{4} ， - 3)$ D、 $[- \frac{63}{4} ， - 3]$

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二、填空题

13. 已知函数 $y = x^{2 a - 3}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 取值范围是.

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14. 已知 $f (x) = x^{2019} + 2 x^{3} + \frac{b}{x} - 8$ ， $f (- 5) = 12$ ，则 $f (5) =$ .

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15. 三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的底面是边长为 $1 c m$ 的正三角形，侧面是长方形，侧棱长为 $8 c m$ ，一个小虫从 $A$ 点出发沿侧面两周到达 $A^{'}$ 点，则小虫所行的最短路程为 $c m$ .

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16. 已知 $f (x) = {(\log_{2} x)}^{2} - 2 t \log_{2} x + 2 t + 4$ ，在 $x \in [\frac{1}{4} ， 16]$ 时， $f (x)$ 的最小值为 $g (t)$ ，当关于 $t$ 的方程有 $g (t) - | t - 1 | + a = 0$ 有两个不等实根时， $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 计算：

(1)、 ${(0.027)}^{\frac{2}{3}} + {(\frac{27}{125})}^{- \frac{1}{3}} - {(2 \frac{7}{9})}^{0.5}$ ；

(2)、已知 $\lg 2 = a$ ， $\lg 3 = b$ ，用 $a$ 、 $b$ 表示 $\log_{2} 45$ .

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18. 集合 $A = {x | x^{2} - a x + a^{2} - 19 = 0}$ ， $B = {x | x^{2} + x - 6 = 0}$ ， $C = {x | x^{2} + 2 x - 8 = 0}$ .

(1)、若 $A \cap B \neq \emptyset$ ， $A \cap C = \emptyset$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A D = 2 B C$ ， $F$ 为 $A D$ 的中点， $E$ 是线段 $P D$ 上的一点.

(1)、若 $E$ 为 $P D$ 的中点，求证：平面 $C E F //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、当点 $E$ 在什么位置时， $P B //$ 平面 $A C E$ .

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20. 如图所示棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是长方形，底面周长为 $8$ ， $P D = 3$ ，且 $P D$ 是四棱锥的高.设 $A B = x$ .

(1)、当 $x = 3$ 时，求三棱锥 $A - P B C$ 的体积；

(2)、四棱锥外接球的表面积的最小值.

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21. 据气象中心观察和预测：发生于甲地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 $v (k m / h)$ 与时间 $t (h)$ 的函数图象图所示，过线段 $O C$ 上一点 $T (t ， 0)$ 作横轴的垂线 $l$ ，梯形 $O A B C$ 在直线 $l$ 左侧部分的面积即为 $t (h)$ 内沙尘暴所经过的路程 $s (k m)$ .

(1)、当 $t = 15$ 时，求 $s$ 的值；

(2)、将 $s$ 随 $t$ 变化的规律用数学关系式表示出来；

(3)、若乙城位于甲地正南方向，且距甲地 $575 k m$ ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到乙城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到乙城?如果不会，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = 1 - \frac{2}{8 \cdot a^{x - 3} + 1}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）是定义在 $R$ 上的奇函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 9^{t}$ 在 $[1, + \infty)$ 上有实数根，求 $t$ 的取值范围；

(3)、若对于 $x \in [1, 2]$ ，使得 $m \cdot f (x) > 2^{x} + 2$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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