山西省朔州市怀仁市2019-2020学年高二上学期数学第四次月考试卷

试卷更新日期：2020-08-31 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若两直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的倾斜角分别为 $α$ 与 $β$ ，则下列四个命题中正确的是（）

A、若 $α$ < $β$ ，则两直线的斜率：k_{1 <}k₂ B、若 $α$ = $β$ ，则两直线的斜率：k₁₌k₂ C、若两直线的斜率：k_{1 <}k₂ ，则 $α$ < $β$ D、若两直线的斜率：k₁₌k₂ ，则 $α$ = $β$

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2. 下列说法正确的是（）

A、若直线l平行于平面 $α$ 内的无数条直线,则 $l / / α$ B、若直线 $a$ 在平面 $α$ 外,则 $a / / α$ C、若直线 $a / / b, b \subset α$ ,则 $a / / α$ D、若直线 $a / / b, b \subset α$ ，则直线 $a$ 平行于 $α$ 内的无数条直线

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3. 已知三棱锥的底面是边长为 $a$ 的正三角形,则过各侧棱中点的截面的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{8} a^{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{16} a^{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{32} a^{2}$

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4. 直线 $\sqrt{3} x - y + m = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 = 0$ 相切，则实数 $m$ 等于（）

A、 $\sqrt{3}$ 或 $- \sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ 或 $3 \sqrt{3}$ C、 $- 3 \sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$ D、 $- 3 \sqrt{3}$ 或 $3 \sqrt{3}$

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5. 如图，正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则异面直线A₁B与AD₁所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 两圆x²+y²=9和x²+y²﹣8x+6y+9=0的位置关系是（）

A、相离 B、相交 C、内切 D、外切

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7. 几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（）

A、16 B、12 C、8 D、6

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8. 已知直线l和平面α，若 $l // α$ ， $P \in α$ ，则过点P且平行于l的直线（）

A、只有一条，不在平面α内 B、只有一条，且在平面α内 C、有无数条，一定在平面α内 D、有无数条，一定不在平面α内

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9. 直线 $3 x + 4 y - 5 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于A、B两点，则弦AB的长等于 $($ $)$

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、1

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N分别是 $B C_{1} ， C D_{1}$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A、MN∥平面ABCD B、MN∥AB C、MN⊥AC D、MN⊥CC₁

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11. 无论 $m$ 取何实数，直线 $l : m x + y - 1 + 2 m = 0$ 恒过一定点，则该定点坐标为（）

A、 $(-2 ， 1)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(2, 1)$ D、 $(2, - 1)$

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12. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的底面 $A B C$ 是边长为2的等边三角形， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $P A = 2$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、 $\frac{68 π}{3}$ B、 $20 π$ C、 $48 π$ D、 $\frac{28 π}{3}$

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二、填空题

13. 若x、y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - 2 y + 1 \geq 0 \\ x + y - 1 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为.

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14. 若直线l₁的斜率k₁＝ $\frac{3}{4}$ ，直线l₂经过点A(3a，－2)，B(0，a²＋1)，且l₁⊥l₂ ，则实数a的值为

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15. 如下图所示，梯形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是水平放置的平面图形 $A B C D$ 的直观图(斜二测画法)，若 $B C_{1} \subset$ ， $A_{1} B_{1} / / C_{1} D_{1}$ ， $A_{1} B_{1} = \frac{2}{3} C_{1} D_{1} = 2$ ， $A_{1} D_{1} = 1$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积是.

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16. 如图是正方体的平面张开图，在这个正方体中：

①BM与ED平行；

②CN与BE是异面直线；

③CN与BM成60°；

④DM与BN是异面直线；

以上四个命题中，正确命题的序号是．

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的三个顶点为 $A (4 ， 0)$ 、 $B (8 ， 10)$ 、 $C (0 ， 6)$ .

(1)、求过点A且平行于BC的直线方程；

(2)、求过点B且与A、C距离相等的直线方程.

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18. 求满足下列条件的圆的方程：
（I）圆心在直线 $y = x$ 上,与 $x$ 轴相交于 $(- 1, 0) (3, 0)$ 两点;

（II）经过 $(4, 0), (3, - 3), (1, 1)$ 三点.

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19. 如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点.

（Ⅰ）证明： BC₁//平面A₁CD；

（Ⅱ）设AA₁= AC=CB=2，AB=2 $\sqrt{2}$ ，求三棱锥C一A₁DE的体积.

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20. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 y + 12 = 0$ ，直线 $l : a x + y + 2 a = 0$ .

(1)、当a为何值时，直线与圆C相切.

(2)、当直线与圆C相交于A、B两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{2}$ 时，求直线的方程.

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21. 如图，正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长为 $a$ ，连 $A' C' ， A' D ， A' B ， B D ， B C' ， C' D$ 得到一个三棱锥.求：

(1)、三棱锥 $A' - B C' D$ 的表面积与正方体的表面积之比；

(2)、三棱锥 $A' - B C' D$ 的体积.

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22. 某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为 $24 π c m$ ，高为 $30 c m$ ，圆锥的母线长为 $20 c m$ .

(1)、求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1 $c m^{3}$ ）；

(2)、现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？

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