辽宁葫芦岛协作校2019-2020学年高二上学期数学第二次考试试卷

试卷更新日期：2020-08-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 6 = 0$ 的半径为（）

A、4 B、 $\sqrt{26}$ C、11 D、 $\sqrt{11}$

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2. 抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点坐标是（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(2 ， 0)$ D、 $(0 ， 2)$

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3. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{32} = 1$ 上的一点 $M$ 到其左焦点的距离是6，则点 $M$ 到其右焦点的距离是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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4. 圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称的圆的方程是（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 3$ B、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ C、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 3$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$

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5. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.若线段 $A B$ 的中点 $P$ 的坐标为 $(2, 1)$ ，则直线 $l$ 的斜率是（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 已知抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点为 $F$ ， $M$ ， $N$ 是该抛物线上的两点，且 $| M F | + | N F | = \frac{1}{2}$ ，则线段 $M N$ 的中点到 $x$ 轴的距离是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{5}{16}$

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7. 已知圆 $M : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16$ ，过点 $P (2, 5)$ 作圆 $M$ 的最长弦 $A B$ 和最短弦 $C D$ ，则直线 $A B$ ， $C D$ 的斜率之和为（）

A、-1 B、 $- \frac{5}{6}$ C、1 D、 $\frac{5}{6}$

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8. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (4, 0)$ ，点A的坐标为 $(0, 3)$ ，点P为双曲线左支上的动点，且 $| P A | + | P F |$ 的最小值为9，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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二、多选题

9. 在同一直角坐标系中，直线 $y = a x + a^{2}$ 与圆 ${(x + a)}^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的位置不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点，则 $| P F |$ 的值可能是（）

A、1 B、3 C、4 D、8

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11. 已知 $P, Q$ 分别为圆M： ${(x - 6)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 与圆 $N$ ： ${(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 上的动点，A为x轴上的动点，则 $| A P | + | A Q |$ 的值可能是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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三、填空题

12. 若方程 $\frac{x^{2}}{m + 3} + \frac{y^{2}}{4 - m} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的双曲线，则 $m$ 的取值范围是.

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13. 若圆 $M$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + {(y - m)}^{2} = 25$ 内切，则 $m =$

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14. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 8 x$ 的焦点是 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，分别过 $A ， B$ 两点作直线： $x = - 2$ 的垂线，垂足分别为 $E ， H$ .若 $| A E | = 2 | B H |$ ，则直线 $l$ 的斜率 $k =$ .

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四、双空题

15. 若点 $P$ 是椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $x - y - 3 \sqrt{5} = 0$ 的距离的最小值是，此时， $P$ 的坐标为.

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五、解答题

16. 求分别满足下列条件的椭圆的标准方程.

(1)、焦点坐标为 $F_{1} (- 2, 0)$ 和 $F_{2} (2, 0)$ ，P为椭圆上的一点，且 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 8$ ；

(2)、离心率是 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，长轴长与短轴长之差为2.

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17. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线方程是 $x = - 2$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $| A B |$ ；

(3)、设点 $M$ 在抛物线 $C$ 上，且 $| M F | = 6$ ，求 $Δ O F M$ 的面积（ $O$ 为坐标原点）.

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18. 直线 $l_{1}$ ： $y = k x - 2 (k \neq 0)$ 与坐标轴的交点为 $A$ ， $B$ ，以线段 $A B$ 为直径的圆 $C$ 经过点 $D (3, 1)$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ ： $3 x + 4 y + 3 = 0$ 与圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| M N |$ .

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19. 已知椭圆 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > 0, b > 0$ )的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，且经过点 $(3, 3)$ ， $F$ 为椭圆 $M$ 的左焦点，直线 $l : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 与椭圆 $M$ 交于 $P, Q$ 两点.

(1)、求椭圆 $M$ 的标准方程；

(2)、求 $Δ P Q F$ 的面积.

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20. 已知圆 $C$ 过点 $A (1, 1)$ ， $B (3, - 1)$ ，圆心 $C$ 在直线 $2 x - y - 5 = 0$ 上， $P$ 是直线 $3 x - 4 y + 10 = 0$ 上任意一点．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 向圆 $C$ 引两条切线，切点分别为 $M$ ， $N$ ，求四边形 $P M C N$ 的面积的最小值．

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21. 已知抛物线C： $x^{2} = 2 p y$ (p>0)的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在抛物线 $C$ 上，且 $| M F | = \frac{3}{2}$ ， $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 是以 $O F$ 为底边的等腰三角形( $O$ 为坐标原点).

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $(m, - 2)$ 作抛物线C的两条切线 $l_{1}, l_{2}$ ，记直线 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $| k_{1} | + | k_{2} |$ 的最小值.

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