湖北省孝感市部分重点学校2019-2020学年高二上学期数学10月联考试卷

试卷更新日期：2020-08-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设 $z = \frac{3 - i}{1 + 2 i}$ ， $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、 $\frac{7}{5} i$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $- \frac{7}{5} i$ D、 $- \frac{7}{5}$

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2. 设点A，B，C不共线，则“ $\overset{⇀}{A B}$ 与 $\overset{⇀}{A C}$ 的夹角为锐角”是“ $| \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} | > | \overset{⇀}{B C} |$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 在平面直角坐标系中， $▱ A B C D$ 的对角线所在的直线相交于 $(0, 1)$ ，若边 $A B$ 所在直线的方程为 $x - 2 y - 2 = 0$ ，则边 $A B$ 的对边 $C D$ 所在直线的方程为（）

A、 $x - 2 y - 4 = 0$ B、 $x - 2 y + 6 = 0$ C、 $x - 2 y - 6 = 0$ D、 $x - 2 y + 4 = 0$

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4. 设D为 $Δ A B C$ 所在平面内一点，若 $\overset{⇀}{B C} = 3 \overset{⇀}{C D}$ ，则下列关系中正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{A D} = - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{4}{3} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{4}{3} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{4}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{4}{3} \overset{⇀}{A B} \overset{⇀}{- \frac{1}{3} A C}$

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5. 等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，且 $a_{4} a_{6} + a_{3} a_{7} = 18$ ，则 $\log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + \dots + \log_{3} a_{9} =$ （）

A、12 B、10 C、9 D、 $2 + \log_{3} \sqrt{5}$

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6. 《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形： $A B$ 是半圆 $O$ 的直径，点 $D$ 在半圆周上， $C D ⊥ A B$ 于点 $C$ ，设 $A C = a$ ， $B C = b$ ，直接通过比较线段 $O D$ 与线段 $C D$ 的长度可以完成的“无字证明”为（）

A、 $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a} (b > a > 0 ， m > 0)$ B、 $\sqrt{a^{2} + b^{2}} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} (a + b) (a > 0 ， b > 0)$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} \leq \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$ D、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} (a > 0 ， b > 0)$

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7. 圆心在直线 $2 x - y = 3$ 上，且与两条坐标轴相切的圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 16$ 或 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$ 或 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$

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8. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $A B = 2 ， A C = 1 ， ∠ A$ 的平分线 $A D = 1$ ，则 $Δ A B C$ 的面积（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{7}}{8}$

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9. 椭圆的焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦 $M N$ 长为 $\frac{32}{5}$ ， $Δ M F_{2} N$ 的周长为20，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{5}$

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10. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥 $A - B C D$ 为鳖臑， $A B ⊥$ 平面BCD， $A B = 2 ， B C = C D = 2$ ，三棱锥 $A - B C D$ 四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）

A、 $6 π$ B、 $12 π$ C、 $4 \sqrt{3} π$ D、 $48 π$

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11. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3}) - 2 \sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x + \frac{π}{4})$ ， $x \in R$ ，给出下列四个命题：①函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2π$ ；②函数 $f (x)$ 的最大值为1；③函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增；④将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到的函数解析式为 $g (x) = \sin 2 x$ ．其中正确命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 都是等差数列， $a_{3} = b_{1} = 3$ ， $a_{15} = b_{7} = 15$ ，设 $c_{n} = {(- 1)}^{n - 1} \frac{b_{n}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，则数列 ${c_{n}}$ 的前2020项和为（）

A、 $- \frac{2019}{2020}$ B、 $\frac{2019}{2020}$ C、 $- \frac{2020}{2021}$ D、 $\frac{2020}{2021}$

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二、填空题

13. 已知圆 $C : {(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ 与圆 $D : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 16$ 公共弦所在直线的倾斜角为 $α$ ，则 $\cos 2 α =$ .

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14. 已知集合 $A = {(x ， y) | y = k (x - 2) + 4}$ ， $B = {(x ， y) | y = \sqrt{4 - x^{2}}}$ ，且 $A \cap B$ 有两个元素，则满足条件的k的取值范围是.

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15. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则异面直线 $D E$ 与 $B_{1} C$ 所成角的大小为．

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16. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，P为椭圆上的动点，M是圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 上的动点，则 $| P M | + | P F_{1} |$ 的最大值是.

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c.已知 $2 cos C (a cos B + b cos A) = c$ .

(1)、求角C；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ， $S_{Δ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 已知圆 $C : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ ，直线 $l : m x - y + 1 - m = 0$

(1)、求证：对 $m \in R$ ，直线l与圆C总有两个不同的交点；

(2)、设l与圆C交于A,B两点，若 $| A B | = \sqrt{17}$ ，求l的倾斜角

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19. 如图 1，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D ， A B ⊥ A D$ ，且 $A B = A D = \frac{1}{2} C D = 1$ ．现以 $A D$ 为一边向外作正方形 $A D E F$ ，然后沿边 $A D$ 将正方形 $A D E F$ 翻折，使 $A D E F$ 平面与平面 $A B C D$ 垂直， $M$ 为 $E D$ 的中点，如图 2．

(1)、求证： $A M / /$ 平面 $B E C$ ；

(2)、求证： $B C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(3)、求 $C D$ 与平面 $B E C$ 所成角的正弦值.

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20. 某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前5年平均每台设备每年的维护费用大致如表：

年份 $x$ （年）

1

2

3

4

5

维护费 $y$ （万元）

1.1

1.6

2

$m$

2.8

参考公式：用最小二乘法求线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的系数公式：

${\begin{matrix} \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \\ \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} \end{matrix}$

已知 $\bar{y} = 2$ .

（I）求表格中 $m$ 的值；

（II）从这5年中随机抽取两年，求平均每台设备每年的维护费用至少有1年多于2万元的概率；

（Ⅲ）求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；并据此预测第几年开始平均每台设备每年的维护费用超过5万元.

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21. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1$ ，且 $a_{3} + a_{4} + a_{5} = 28, a_{4} + 2$ 是 $a_{3}, a_{5}$ 的等差中项，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ，数列 ${(b_{n + 1} - b_{n}) a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $2 n^{2} + n$ .

(1)、求 $q$ 的值.

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式.

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22. 已知椭圆 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且椭圆上一点P的坐标为 $(\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆M的方程；

(2)、设椭圆的右顶点为C，不经过点C的直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过点C，
①证明：直线l过定点，并求出该定点坐标；

②求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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年份 $x$ （年）	1	2	3	4	5
维护费 $y$ （万元）	1.1	1.6	2	$m$	2.8