湖北省大冶市六中2019-2020学年高二上学期数学第一次月考试卷

试卷更新日期：2020-08-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | - 1 < x < 1}$ ， $B = {x | x (2 - x) \leq 0}$ ，则 $A \cap (C_{U} B)$ 为（）

A、 ${x | 0 < x < 2}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | 0 \leq x < 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 0}$

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2. 已知 $a > b$ ，则下列各式一定正确的是（）

A、 $a lg x > b lg x$ B、 $a x^{2} > b x^{2}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a \cdot 2^{x} > b \cdot 2^{x}$

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3. 已知函数 $f (x) = x + \frac{p}{x - 1}$ （ $p$ 为常数，且 $p > 0$ ），若 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上的最小值为4，则实数 $p$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{9}{4}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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4. 一个算法的程序框图如图，若该程序输出 $\frac{25}{42}$ ，则判断框内应填入的条件是（）

A、 $i ⩽ 4$ B、 $i ⩽ 5$ C、 $i ⩽ 6$ D、 $i ⩾ 5$

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5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是（）

A、 $4 π + 24$ B、 $4 π + 32$ C、 $22 π$ D、 $12 π$

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6. 若对任意的实数 $x$ ，不等式 $x a \leq e^{x - 1} + x^{2} + 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 1 - 4 + 7 - 10 + \dots + {(- 1)}^{n - 1} (3 n - 2)$ ，则 $S_{21} =$ （）

A、30 B、31 C、-30 D、-31

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8. 设 $| \overset{⇀}{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，夹角为 $60^{\circ}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + \vec{b} |$ 等于（）

A、37 B、13 C、 $\sqrt{37}$ D、 $\sqrt{13}$

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9. 函数 $y = f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $y = f (x)$ 的解析式为（）

A、 $y = \sin (2 x + \frac{4}{5} π) + 1$ B、 $y = \sin (2 x - \frac{π}{5}) + 1$ C、 $y = 2 \sin (2 x + \frac{4}{5} π) - 1$ D、 $y = 2 \sin (2 x - \frac{π}{5}) - 1$

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10. 在 $Δ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且 $a^{2} + a c = c^{2} + a b$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11. $f (x) = a + \frac{1}{2^{x} + 1}$ 是奇函数，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-1 D、1

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 2$ ， $a_{1} = - 5$ ，则 $| a_{1} | + | a_{2} | + ... + | a_{6} | =$ （）.

A、9 B、15 C、18 D、30

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二、填空题

13. 不等式 $| 2 x - 1 | - x < 1$ 的解集是．

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14. 设 $x 、 y$ 均为正实数，且 $\frac{1}{2 + x} + \frac{1}{2 + y} = \frac{1}{3}$ ，则 $x y$ 的最小值为．

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15. 若 $x 、 y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 0 ， \\ x + 3 y \geq 4 ， \\ 3 x + y \leq 4 ， \end{array}$ 则 $z = - x + y$ 的最小值为．

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16. 在三角形 $A B C$ 中， $(1 + \tan A) (1 + \tan B) = 2$ ，则角 $C$ 等于．

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三、解答题

17. 已知向量 $\overset{⇀}{m} = (- 2 \sin (π - x) ， \cos x)$ ， $\overset{⇀}{n} = (\sqrt{3} \cos x ， 2 \sin (\frac{π}{2} - x))$ ，函数 $f (x) = 1 - \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{n}$ ．

(1)、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、当 $x \in [0 ， π]$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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18. 在 $Δ A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 $b \sin A = \sqrt{3} a \cos B$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = \sqrt{7} ， S_{Δ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ， $(A > B)$ ，求 $a 、 c$ 的值．

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19. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1}^{2} a_{n} + a_{n_{+ 1}} a_{n}^{2} + a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = 0$ ．
（Ⅰ）求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值；

（Ⅱ）求证： ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列；

（Ⅲ）若 $b_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n}} + a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 为递增的等比数列， $a_{1} \cdot a_{4} = 8$ ， $a_{2} + a_{3} = 6$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $b_{n} = a_{n} + {log}_{2} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加 $.$ 现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如表：

年份 $t ($ 年 $)$

1

2

3

4

5

维护费 $y ($ 万元 $)$

1.1

1.5

1.8

2.2

2.4

$($ Ⅰ $)$ 求y关于t的线性回归方程；

$($ Ⅱ $)$ 若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由．

$($ 参考公式： $B = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{xy}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {n\bar{x}}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b\bar{x})$

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22. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + n}{2^{x + 1} + m}$ 是奇函数．
（Ⅰ）求实数m，n的值；

（Ⅱ）若任意的 $t \in [- 1, 1]$ ，不等式 $f (t^{2} - a) + f (a t - 2) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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年份 $t ($ 年 $)$	1	2	3	4	5
维护费 $y ($ 万元 $)$	1.1	1.5	1.8	2.2	2.4