河北省张家口市2019-2020学年高二上学期数学11月阶段测试试卷

试卷更新日期：2020-08-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 如果命题“ $(\neg p) \land (\neg q)$ ”为假命题，则（）

A、 $p ， q$ 均为假命题 B、 $p ， q$ 中只有一个真命题 C、 $p ， q$ 均为真命题 D、 $p ， q$ 中至少有一个真命题

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{2}{3} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{9} x$ C、 $y = \pm \frac{3}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{9}{4} x$

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3. 给出命题：（1）对立事件一定是互斥事件.（2）若事件 $A ， B$ 满足 $P (A) + P (B) = 1$ ，则 $A ， B$ 为对立事件.（3）把 $J$ 、 $Q$ 、 $K$ ，3张红桃牌随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件 $A$ ：“甲得红桃 $J$ ”与事件 $B$ ：“乙得红桃 $J$ ”是对立事件.（4）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是两次都不中靶.其中正确的命题个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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4. 下列判断正确的是（）

A、两圆锥曲线的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ ，则“ $e_{1} e_{2} < 1$ ”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件. B、已知 $M (x_{0} ， y_{0})$ 为圆 $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ 内异于圆心的一点，则直线 $x_{0} x + y_{0} y = R^{2}$ 与该圆相交. C、设 $m$ 是实数，若方程 $\frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{2 - m} = 1$ 表示双曲线，则 $m > 2$ . D、命题 $\forall x \in R ， 2^{x} \geq x^{2}$ 的否定是 $\exists x_{0} \in R ， 2^{x_{0}} < x_{0}^{2}$ .

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5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 是该双曲线右支上的一点，若 $| P F_{1} |$ 、 $| P F_{2} |$ 分别是 $R t Δ F_{1} P F_{2}$ 的“勾”、“股”，且 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 2 a b$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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6. 以 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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7. 先后抛掷质地均匀的硬币三次，则至少二次正面朝上的概率是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{7}{8}$

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8. 如图所示的是希腊著名数学家欧儿里德在证明勾股定理时所绘制的一个图形，该图形由三个边长分别为 $a ， b ， c$ 的正方形和一个直角三角形围成，现已知 $a = 6 ， b = 8$ ，若从该图形中随机取一点，则该点取自其中的阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{17}{28}$ B、 $\frac{25}{56}$ C、 $\frac{25}{28}$ D、 $\frac{16}{25}$

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9. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有北乡8100人，西乡有7488人，南乡有6912人，现要按人数多少从三个乡共征集300人，问从各乡征集多少人”.在上述问题中，需从北乡征集的人数大约是（）

A、112 B、108 C、130 D、168

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10. 若直线 $y = k x + 1$ 和椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 恒有公共点，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[1 ， 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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11. 如图，在圆 $C ： {(x + 4)}^{2} + y^{2} = 100$ 内有一点 $A (4 ， 0)$ ，点 $Q$ 为圆 $C$ 上一动点， $A Q$ 的垂直平分线与 $C ， Q$ 的连线交于点 $M$ ，则动点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (x ⩽ - 5)$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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12. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0 ， b_{2} > 0)$ 有相同的左右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若点 $P$ 是 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 在第一象限内的交点，且 $| F_{1} F_{2} | = 2 | P F_{2} |$ ，设 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1} ， e_{2}$ ，则 $e_{1} + e_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$ B、 $(\frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $[\frac{3}{2} ， + \infty)$ D、以上答案都不对

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二、填空题

13. 命题“若 $x^{2} < 4$ ，则 $- 2 < x < 2$ ”的逆否命题是.

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14. 古希腊数学家同波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点 $A (- a ， 0) ， B (a ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = λ$ （其中 $a$ 和 $λ$ 是正常数，且 $λ \neq 1$ ），则 $P$ 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.若 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{1}{2}$ ，则该圆的圆心坐标为.

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15. 经过点 $M (2 ， 1)$ 作直线 $l$ 交椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 于 $A$ ， $B$ 两点，且 $M$ 为 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的方程为.（写成一般式）

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16. 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 $P$ 变轨进入以月球球心 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在 $P$ 点第二次变轨进入仍以 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在 $P$ 点第三次变轨进入以 $F$ 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.已知椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的中心与 $F$ 在同一直线上，设椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长半轴长分别为 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，半焦距分别为 $c_{1}$ ， $c_{2}$ ，则以下四个关系① $a_{1} - c_{1} > a_{2} - c_{2}$ ，② $\frac{c_{1}}{a_{1}} > \frac{c_{2}}{a_{2}}$ ，③ $a_{1} - c_{2} = a_{2} - c_{1}$ ，④ $\frac{c_{1}}{a_{1}} < \frac{c_{2}}{a_{2}}$ 中正确的是.

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三、解答题

17. 2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“ $3 + 1 + 2$ ”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，张明同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.

(1)、若张明同学随机选择3门功课，求他选到物理政治两门功课的概率；

(2)、试根据茎叶图分析张明同学应在物理和历史中选择哪个学科？并阐述理由.

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18. 某工厂今年前5个月某种产品的产量（单位：万件）的数据如下表：

$x$ （月份）

1

2

3

4

5

$y$ （产量）

4

5

4

6

6

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{1} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、若从这5组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是不相邻两个月的数据的概率；

(2)、求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并估计今年6月份该种产品的产量.

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19. 已知命题 $p$ ：方程 $\frac{x^{2}}{2 m} + \frac{y^{2}}{8 - m^{2}} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆；命题 $q$ ：双曲线 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率 $e \in (1 ， 2)$ ，若 $p \lor q$ 为真， $p \land q$ 为假，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{9} - y^{2} = 1$ ， $P$ 是 $C$ 上的任意一点.

(1)、求证：点 $P$ 到双曲线 $C$ 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数.

(2)、若点 $A$ 的坐标为 $(4 ， 0)$ ，求 $| P A |$ 的最小值.

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21. 2019年“中秋节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（ $k m / h$ ）分成七段 $[65 ， 70) ， [70 ， 75) ， [75 ， 80) ， [80 ， 85) ， [85 ， 90) ， [90 ， 95) ， [95 ， 100)$ 后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：

(1)、求 $a$ 的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？

(2)、求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；

(3)、若该路段的车速达到或超过 $90 k m / h$ 即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F ， A ， B$ 是椭圆上关于原点 $O$ 对称的两个动点，当点 $A$ 的坐标为 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 时， $Δ A B F$ 的周长恰为 $2 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $M (1 ， 2)$ ，斜率为2的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $N ， D$ 两点，求 $Δ M N D$ 面积的最大值.

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$x$ （月份）	1	2	3	4	5
$y$ （产量）	4	5	4	6	6