河北省保定市2019-2020学年高二上学期数学阶段二联考试卷

试卷更新日期：2020-08-28 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 抛物线 $y = 4 x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(1 ， 0)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(\frac{1}{16} ， 0)$ D、 $(0 ， \frac{1}{16})$

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2. 已知命题p： $\forall x > 0$ ，总有 $(x + 1) e^{x} > 1$ ，则 $^{﹁} p$ 为（）

A、 $\exists x_{0} \leq 0$ ，使得 $(x_{0} + 1) e^{x_{0}} \leq 1$ B、 $\exists x_{0} > 0$ ，使得 $(x_{0} + 1) e^{x_{0}} \leq 1$ C、 $\forall x > 0$ ，总有 $(x + 1) e^{x} \leq 1$ D、 $\forall x \leq 0$ ，使得 $(x + 1) e^{x} \leq 1$

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3. 在△ABC中，“A＞60°”是“ $\sin A > \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 一汽车厂生产甲，乙，丙三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：

轿车甲

轿车乙

轿车丙

舒适型

100

150

$z$

标准型

300

450

600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有甲类轿车10辆，则 $z$ 的值为（）

A、300 B、400 C、450 D、600

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5. 古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，“金克木，木克士，土克水，水克火，火克金”．从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽到的两种物质不相克的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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6. 某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 在圆x²+y²＝4上任取一点，则该点到直线 $x + y - 2 \sqrt{2} = 0$ 的距离d∈[0，1]的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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8. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线被曲线 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 = 0$ 所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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9. 直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与 $C^{'} A$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、- $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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10. 如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）

A、2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省． B、与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长． C、2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个 D、去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．

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11. 如图， $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点．若 $| A B | ： | B F_{1} | ： | A F_{1} | = 3 ： 4 ： 5$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm 2 \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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12. 如图，过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若 $| B C | = 2 | B F |$ ，且 $| A F | = 3$ ，则抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = \frac{3}{2} x$ B、 $y^{2} = 9 x$ C、 $y^{2} = \frac{9}{2} x$ D、 $y^{2} = 3 x$

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二、填空题

13. 已知正四面体ABCD的棱长为1，点E、F分别是BC，AD的中点，则 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{A F}$ 的值为．

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14. 某中学高二年级的甲、乙两个班各选出5名学生参加数学竞赛，在竞赛中他们取得成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83分，乙班5名学生成绩的中位数是86．若从成绩在85分及以上的学生中随机抽2名，则至少有1名学生来自甲班的概率为．

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15. 在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆 $\frac{y^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{3} = 1$ 上的一个动点，点A（1，1），B（0，﹣1），则|PA|+|PB|的最大值为

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16. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个焦点 $F$ 作一条渐近线的垂线，垂足为点 $A$ ，与另一条渐近线交于点 $B$ ，若 $\vec{F B} = 2 \vec{F A}$ ，则此双曲线的离心率为.

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三、解答题

17. 已知命题p：关于x的方程x²﹣2mx+1＝0有实数根，命题q：双曲线 $\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的离心率e∈（1，2），若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．

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18. 已知点 $P (0 ， 5)$ 及圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 4 x - 12 y + 24 = 0$ .

(1)、若直线 $l$ 过点 $P$ 且被圆 $C$ 截得的线段长为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $l$ 的方程；

(2)、求过 $P$ 点的圆 $C$ 的弦的中点 $D$ 的轨迹方程.

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19. 已知抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（2，y₀）为抛物线上一点，且|AF|＝4．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、直线l：y＝x+m与抛物线交于不同两点P，Q，若 $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{O Q} = 33$ ，其中O为坐标原点，求m的值．

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20. 如图，已知斜三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的底面是正三角形，点M、N分别是B₁C₁和A₁B₁的中点，AA₁＝AB＝BM＝2，∠A₁AB＝60°．

(1)、求证：BN⊥平面A₁B₁C₁；

(2)、求二面角A₁﹣AB﹣M的余弦值．

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21. 某老小区建成时间较早，没有集中供暖，随着人们生活水平的日益提高热力公司决定在此小区加装暖气该小区的物业公司统计了近五年（截止2018年年底）小区居民有意向加装暖气的户数，得到如下数据

年份编号x	1	2	3	4	5
年份	2014	2015	2016	2017	2018
加装户数y	34	95	124	181	216

参考公式对于一组数据（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），（x₃ ， y₃），…（x_n ， y_n），其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n x \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n x^{2}} ， \hat{a} = 5 - \hat{b} \bar{x}$

（Ⅰ）若有意向加装暖气的户数y与年份编号x满足线性相关关系求y与x的线性回归方程并预测截至2019年年底，该小区有多少户居民有意向加装暖气；

（Ⅱ）2018年年底郑州市民生工程决定对老旧小区加装暖气进行补贴，该小区分到120个名额物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式分配名额，竞拍方案如下：①截至2018年年底已登记在册的居民拥有竞拍资格；②每户至多申请一个名额，由户主在竞拍网站上提出申请并给出每平方米的心理期望报价；③根据物价部门的规定，每平方米的初装价格不得超过300元；④申请阶段截止后，将所有申请居民的报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则认为申请时间在前的居民得到名额，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的50位居民进行调查统计了他们的拟报竞价，得到如图所示的频率分布直方图：

（i）求所抽取的居民中拟报竞价不低于成本价180元的人数；

（ii）如果所有符合条件的居民均参与竞拍，请你利用样本估计总体的思想预测至少需要报价多少元才能获得名额（结果取整数）

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22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 $\sqrt{2}$ .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设与圆O： $x^{2} + y^{2} = \frac{3}{4}$ 相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求△AOB面积的最大值。

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	轿车甲	轿车乙	轿车丙
舒适型	100	150	$z$
标准型	300	450	600