高中数学人教新课标A版选修2-1 3.1空间向量及其运算

试卷更新日期：2020-08-27 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 0)$ ， $\overset{⇀}{b} = (m ， 1 ， - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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2. 已知 $\vec{a} = (2 x ， 1 ， 3)$ ， $\vec{b} = (1 ， - y ， 9)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则（）

A、 $x = 1 ， y = 1$ B、 $x = 1 ， y = \frac{1}{2}$ C、 $x = \frac{1}{3} ， y = - 6$ D、 $x = \frac{1}{6} ， y = - 3$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 0 ， - 1)$ ，则下列向量中与 $\vec{a}$ 成 $60^{\circ}$ 的是（）

A、 $(- 1 ， 1 ， 0)$ B、 $(1 ， - 1 ， 0)$ C、 $(0 ， - 1 ， 1)$ D、 $(- 1 ， 0 ， 1)$

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4. 已知点 $A (－ 3 ， 1 ， 5)$ 与点 $B (0 ， 2 ， 3)$ ，则 $A ， B$ 之间的距离为（）

A、 $\sqrt{22}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $\sqrt{7}$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2 ， 0)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 等于（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、9

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6. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 15$ ， $\vec{b} = (3 ， 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等， $A_{1}$ 在底面ABC内的射影为 $Δ A B C$ 的中心O，则 $A C_{1}$ 与底面ABC所成角的余弦值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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8. 若向量 $\vec{a} = (1 ， λ ， 1) ， \vec{b} (2 ， - 1 ， - 2)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ，则 $λ$ 等于（）

A、 $- \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{2}$ D、2

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9. 如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $D A$ ， $D B$ ， $D C$ 两两垂直，且 $D B = D C$ ， $E$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B C}$ 等于（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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10. 设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=（）

A、2 B、﹣4 C、4 D、﹣2

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11. 已知 $\vec{v}$ 为直线l的方向向量， $\vec{n_{1}}$ ， $\vec{n_{2}}$ 分别为平面 $α$ ， $β$ 的法向量 $(α ， β$ 不重合 $)$ 那么下列说法中：
$① \vec{n_{1}} / / \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α / / β$ ； $② \vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ⊥ β$ ； $③ \vec{v} / / \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l / / α$ ； $④ \vec{v} ⊥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ⊥ α .$ 正确的有 $($ $)$

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 如图所示，在长方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD₁的距离为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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二、填空题

13. 已知直线l与平面 $α$ 垂直，直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{u} = (1 ， 3 ， z)$ ，向量 $\vec{v} = (3 ， - 2 ， 1)$ 与平面 $α$ 平行，则 $z =$ .

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14. 已知 $\overset{⇀}{a} = (2 ， 1 ， 3)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 4 ， 2 ， x)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | =$ .

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15. 圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若 $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A O}$ ，且 $| \vec{O A} | = | \vec{A C} |$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 方向上的投影为.

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16. 四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $P A = A B = 4$ ，则直线 $P B$ 与平面 $P A C$ 所成角为．

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三、解答题

17. 已知向量 $\vec{a}$ =(1，-3，2)， $\vec{b}$ =(-2，1，1)，点A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2).

(1)、求|2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |；

(2)、在直线AB上，是否存在一点E，使得 $\vec{OE}$ ⊥ $\vec{b}$ ?(O为原点)

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18. 已知空间三点 $A (- 2 ， 0 ， 2) ， B (- 1 ， 1 ， 2) ， C (- 3 ， 0 ， 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B} ， \vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值；

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 互相垂直，求 $k$ 的值.

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19. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = A C = A A_{1} = \sqrt{5}$ ， $B C = 4$ ， $O$ 为 $B C$ 的中点， $A_{1} O ⊥$ 平面 $A B C$

(1)、证明四边形 $B B_{1} C_{1} C$ 为矩形；

(2)、求直线 $A A_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角的余弦值.

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20. 如图，在直三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1} ($ 侧棱和底面垂直的棱柱 $)$ 中，平面 $A_{1} BC ⊥$ 侧面 $A_{1} {ABB}_{1}$ ， $AB = BC = {AA}_{1} = 3$ ，线段AC、 $A_{1} B$ 上分别有一点E、F且满足 $2 AE = EC$ ， $2 BF = {FA}_{1}$ ．

(1)、求证： $AB ⊥ BC$ ；

(2)、求点E到直线 $A_{1} B$ 的距离；

(3)、求二面角 $F - BE - C$ 的平面角的余弦值．

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21. 如图，已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面边长 $A B = 2$ ，侧棱 $B B_{1} = 4$ ，过点B作 $B_{1} C$ 的垂线交侧棱 $C_{1} C$ 于点E，交 $B_{1} C$ 于点F.

(1)、求 $E C$ 的长；

(2)、求 $A_{1} B$ 与平面 $B E D$ 所成的线面角.

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22. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为平行四边形， $∠ D A B = 60^{\circ}$ ， $P D = A D = \frac{1}{2} A B$ ， $P D ⊥$ 底面ABCD．

(1)、证明： $P A ⊥ B D$ ；

(2)、求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小．

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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