高中数学人教新课标A版选修2-1 第二章圆锥曲线与方程

试卷更新日期：2020-08-26 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 已知A为抛物线C:y²=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）

A、2 B、3 C、6 D、9

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2. 设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y²=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）

A、（ $\frac{1}{4}$ ，0） B、（ $\frac{1}{2}$ ，0） C、（1，0） D、（2，0）

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3. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\sqrt{5}$ ．P是C上一点，且F₁P⊥F₂P．若△PF₁F₂的面积为4，则a=（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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4. 设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点和点 $(0, b)$ 的直线为l．若C的一条渐近线与 $l$ 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - y^{2} = 1$

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5. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 $| O P | = 2$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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6. 设O为坐标原点，直线 $x = a$ 与双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线分别交于 $D, E$ 两点，若 $△ O D E$ 的面积为8，则C的焦距的最小值为（）

A、4 B、8 C、16 D、32

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7. 已知F是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点，若直线 $y = k x$ 与椭圆相交于 $A ， B$ 两点，且 $∠ A F B = 60 °$ ，则椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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8. 如图，点A是曲线 $y = \sqrt{x^{2} + 2} (y ≤ 2)$ 上的任意一点， $P (0 ， - 2)$ ， $Q (0 ， 2)$ ，射线 $Q A$ 交曲线 $y = \frac{1}{8} x^{2}$ 于 $B$ 点， $B C$ 垂直于直线 $y = 3$ ，垂足为点C.则下列判断：① $| A P | - | A Q |$ 为定值 $2 \sqrt{2}$ ；② $| Q B | + | B C |$ 为定值5.其中正确的说法是（）

A、①②都正确 B、①②都错误 C、①正确，②错误 D、①都错误，②正确

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9. 设复数 $z = a + b i (a > 0, b \neq 0)$ 是实系数方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的根，又 $z^{3}$ 为实数，则点 $(p, q)$ 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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10. 已知点F是椭圆 $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆 $x^{2} + {(y - \frac{c}{2})}^{2} = \frac{b^{2}}{16}$ 相切于点Q，O为坐标原点，且 $(\vec{O P} + \vec{O F}) \cdot \vec{F P} = 0$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 以双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左顶点A为圆心作半径为a的圆，此圆与渐近线交于坐标原点O及另一点B，且存在直线 $y = k x$ 使得B点和右焦点F关于此直线对称，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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12. 已知抛物线C₁： $y^{2} = \frac{16}{15} x$ 和圆C₂：(x-6)²+(y-1)²=1，过圆C₂上一点P作圆的切线MN交抛物线C，于M，N两点，若点P为MN的中点，则切线MN的斜率k>1时的直线方程为（）

A、4x-3y-22=0 B、4x-3y-16=0 C、2x-y-11+5=0 D、4x-3y-26=0

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二、多选题

13. 已知曲线 $C : m x^{2} + n y^{2} = 1$ .（）

A、若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B、若m=n>0，则C是圆，其半径为 $\sqrt{n}$ C、若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{- \frac{m}{n}} x$ D、若m=0，n>0，则C是两条直线

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14. 已知P是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{6} + y^{2} = 1$ 上的动点，Q是圆 $D : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = \frac{1}{5}$ 上的动点，则（）

A、C的焦距为 $\sqrt{5}$ B、C的离心率为 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ C、圆D在C的内部 D、 $| P Q |$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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15. 已知动点 $P$ 在双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上，双曲线 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的离心率为 $2$ B、 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ C、动点 $P$ 到两条渐近线的距离之积为定值 D、当动点 $P$ 在双曲线 $C$ 的左支上时， $\frac{| P F_{1} |}{{| P F_{2} |}^{2}}$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$

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16. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2，过点 $F$ 的直线与抛物线交于 $P$ ， $Q$ 两点， $M$ 为线段 $P Q$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的准线方程为 $y = - 1$ B、线段 $P Q$ 的长度最小为4 C、 $M$ 的坐标可能为 $(3, 2)$ D、 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = - 3$ 恒成立

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三、填空题

17. 斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线过抛物线C：y²=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 $| A B |$ = ．

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18. 已知点M( $\sqrt{3}$ ，0)，椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 与直线y＝k(x＋ $\sqrt{3}$ )交于点A，B，则△ABM的周长为.

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19. 已知F为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上有一点 $M (\frac{\sqrt{2}}{2} a ， \frac{\sqrt{2}}{2} b)$ ，F为右焦点，B为上顶点，O为坐标原点，且 $S_{Δ B F O} = \sqrt{2} S_{△ B F M}$ ，则椭圆C的离心率为

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四、解答题

21. 已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>b>0)的右焦点F与抛物线C₂的焦点重合，C₁的中心与C₂的顶点重合．过F且与x轴重直的直线交C₁于A，B两点，交C₂于C，D两点，且|CD|= $\frac{4}{3}$ |AB|．

(1)、求C₁的离心率；

(2)、若C₁的四个顶点到C₂的准线距离之和为12，求C₁与C₂的标准方程．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (0 < m < 5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，A，B分别为C的左、右顶点．

(1)、求C的方程；

(2)、若点P在C上，点Q在直线 $x = 6$ 上，且 $| B P | = | B Q |$ ， $B P ⊥ B Q$ ，求 $△ A P Q$ 的面积．

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23. 已知A、B分别为椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点， $\vec{A G} \cdot \vec{G B} = 8$ ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

(1)、求E的方程；

(2)、证明：直线CD过定点.

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24. 如图，直线l与抛物线 $y^{2} = 2 x$ 相交于 $A ， B$ 两点，与x轴交于点Q，且 $O A ⊥ O B$ ， $O D ⊥ l$ 于点 $D (m ， n)$ .

(1)、当 $n = 1$ 时，求m的值；

(2)、当 $m \in [\frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ 时，求 $△ O D Q$ 与 $△ O A B$ 的面积之积 $S_{△ O D Q} \cdot S_{△ O A B}$ 的取值范围.

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25. 已知双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $b > 0$ )，直线l与 $Γ$ 交于P､Q两点.

(1)、若点 $(3, 0)$ 是双曲线 $Γ$ 的一个焦点，求 $Γ$ 的渐近线方程；

(2)、若点P的坐标为 $(- 1, 0)$ ，直线 $l$ 的斜率等于1，且 $| P Q | = \frac{8 \sqrt{2}}{3}$ ，求双曲线 $Γ$ 的渐近线方程.

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26. 如图，已知抛物线C： $x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，设点 $A (2 t ， t^{2}) (t > 1)$ 为抛物线上一点，过点A作抛物线C的切线交其准线于点E.

(1)、求点E的坐标（用 $t$ 表示）；

(2)、直线 $A F$ 交抛物线C于点B（异于点A），直线 $E F$ 交抛物线C于 $M$ ，N两点（点N在E，F之间），连结 $A M$ ， $B N$ ，记 $△ F A M$ ， $△ F B N$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值.

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27. 已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )的焦距为2，椭圆 $Γ$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，过右焦点 $F_{2}$ 作x轴的垂线交椭圆于A､B两点， $| A B | = 3$ .

(1)、求椭圆 $Γ$ 的方程；

(2)、过右焦点 $F_{2}$ 作直线交椭圆于C､D两点，若△ $C D F_{1}$ 的内切圆的面积为 $π$ ，求△ $C D F_{1}$ 的面积；

(3)、已知 $⊙ O : x^{2} + y^{2} = b^{2}$ ， $R$ 为圆上一点(R在y轴右侧)，过R作圆的切线交椭圆 $Γ$ 于M､N两点，试问△ $M N F_{2}$ 的周长是否为一定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

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高中数学人教新课标A版 选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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