高中数学人教新课标A版选修2-1 2.4抛物线

试卷更新日期：2020-08-26 类型：同步测试

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一、单选题

1. 焦点在 $x$ 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3的抛物线的标准方程是（）

A、 $y^{2} = 12 x$ B、 $y^{2} = 3 x$ C、 $x^{2} = 6 y$ D、 $y^{2} = 6 x$

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2. 抛物线y＝ax²上一点 $P (- \frac{1}{4} ， \frac{1}{8})$ 到其准线的距离为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{3}{8}$

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3. 已知A为抛物线C:y²=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）

A、2 B、3 C、6 D、9

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4. 以抛物线 $E : x^{2} = 4 y$ 的焦点为圆心，且与E的准线相切的圆的方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ B、 $x {}^{2}+ {(y + 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ D、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$

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5. 设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y²=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（）

A、（ $\frac{1}{4}$ ，0） B、（ $\frac{1}{2}$ ，0） C、（1，0） D、（2，0）

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6. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作 $P Q ⊥ l$ 于Q，则线段 $F Q$ 的垂直平分线（）．

A、经过点O B、经过点P C、平行于直线 $O P$ D、垂直于直线 $O P$

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7. 设复数 $z = a + b i (a > 0, b \neq 0)$ 是实系数方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的根，又 $z^{3}$ 为实数，则点 $(p, q)$ 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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8. 已知圆 $x^{2} + y^{2} = 16$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线 $l$ 交于A，B两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{15}$ ，P为该抛物线上一点， $P Q ⊥ l$ 于点Q，点F为该抛物线的焦点.若 $△ P Q F$ 是等边三角形，则 $△ P Q F$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、2

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9. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，其焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线C于点 $A ， B$ （其中 $A$ 在 $x$ 轴上方）， $A ， B$ 两点在抛物线的准线上的投影分别为 $M ， N$ ，若 $| M F | = 2 \sqrt{3}$ ， $| N F | = 2$ ，则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、3 D、4.

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10. 已知抛物线C方程为 $x^{2} = 4 y$ ，F为其焦点，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，则 $| A P | \cdot | B Q |$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[2 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $[0 ， 2)$

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11. 已知 $A (- \sqrt{2}, 0)$ ， $B (\sqrt{2}, 0)$ 及抛物线方程为 $x^{2} = 8 (y - 1)$ ，点 $P$ 在抛物线上，则使得 $Δ A B P$ 为直角三角形的点 $P$ 个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 已知过抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{2} x$ 焦点F的直线与抛物线交于点A，B， $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，抛物线的准线l与x轴交于点C， $A M ⊥ l$ 于点M，则四边形AMCF的面积为（）

A、 $12 \sqrt{3}$ B、 $12$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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二、多选题

13. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点M到其准线及对称轴的距离分别为3和 $2 \sqrt{2}$ ，则 $p$ 的值可以是（）

A、2 B、6 C、4 D、8

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14. 抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点 $M (2 ， 2) ，$ 下列结论正确的是（）

A、|PM| +|PF|的最小值为3 B、抛物线C上的动点到点 $H (0 ， 3)$ 的距离最小值为3 C、存在直线l，使得A，B两点关于 $x + y - 3 = 0$ 对称 D、若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2

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三、填空题

15. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点到准线的距离等于.

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16. 已知抛物线 $E : y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，过抛物线E上一点P（在第一象限内）作y轴的垂线PQ，垂足为Q，若四边形OFPQ的周长为7，则点P的坐标为.

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17. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点M(x₀ ， 2 $\sqrt{2}$ )( $x_{0} > \frac{p}{2}$ )是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝ $\frac{p}{2}$ 交于E，G两点，若sin∠MFG＝ $\frac{1}{3}$ ，则抛物线C的方程是.

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18. 在平面直角坐标系内有两点 $A (m, - 1)$ ， $B (2, - 1)$ ， $m < 2$ ，点 $A$ 在抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 上， $F$ 为抛物线的焦点，若 $2 | A B | + | A F | = 6$ ，则 $m =$

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四、解答题

19. 求满足下列条件的抛物线的标准方程．

(1)、过点 $M (- 6 ， 6)$ ；

(2)、焦点 $F$ 在直线 $l ： 3 x - 2 y - 6 = 0$ 上．

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20. 已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C经过点 $P (3, 6)$ ．
$($ Ⅰ $)$ 求抛物线C的标准方程；

$($ Ⅱ $)$ 经过抛物线C的焦点且斜率为2的直线l交抛物线C于A，B两点，求线段AB的长．

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21. 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，抛物线C上一点P(4，m)到焦点F的距离为5．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、已知M是抛物线C上任意一点，若在射线 $y = \frac{1}{2} x + 4 (y \geq 0)$ 上存在两点G， H，使得线段MG，MH的中点恰好落在抛物线C上，求当△MGH面积取得最小值时点M的坐标．

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22. 如图，已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，点C是抛物线上一点，且满足 $A C ⊥ E F$ .

(1)、若点A坐标是 $(4 ， 4)$ ，求线段 $A C$ 中点M的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最小值及此时直线 $A C$ 的方程.

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23. 在平面直角坐标系xOy中，过点 $(0 ， 4)$ 的直线l与抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于A，B两点，以AB为直径作圆，记为 $⊙ M$ ， $⊙ M$ 与抛物线C的准线始终相切.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、过圆心M作x轴垂线与抛物线相交于点N，求 $S_{△ A B N}$ 的取值范围.

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24. 如图，抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 的焦点为F（1，0），E是抛物线的准线与x轴的交点，直线AB经过焦点F且与抛物线交于A，B两点，直线AE，BE分别交y轴于M，N两点，记 $△ A B E$ ， $△ M N E$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ．

(1)、求抛物线C的标准方程；

(2)、 $\frac{S_{1}^{2}}{| A B |}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

(3)、求 $S_{1} + S_{2}$ 的最小值．

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二、多选题

三、填空题

四、解答题

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