高中数学人教新课标A版选修2-1 2.3双曲线

试卷更新日期：2020-08-26 类型：同步测试

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一、单选题

1. 双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0, \pm 1)$ B、 $(\pm 1, 0)$ C、 $(0, \pm \sqrt{7})$ D、 $(\pm \sqrt{7}, 0)$

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2. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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3. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{n} = 1$ ，则 $n > m > 0$ 是双曲线C的离心率大于 $\sqrt{2}$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点和点 $(0, b)$ 的直线为l．若C的一条渐近线与 $l$ 平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ D、 $x^{2} - y^{2} = 1$

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5. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且 $| O P | = 2$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、3 C、 $\frac{5}{2}$ D、2

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6. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为 $\sqrt{5}$ ．P是C上一点，且F₁P⊥F₂P．若△PF₁F₂的面积为4，则a=（）

A、1 B、2 C、4 D、8

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7. 设A，B为双曲线Γ： $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左，右顶点，F为双曲线Γ右焦点，以原点O为圆心， $| O F |$ 为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为M，连接AM，BM，则tan∠AMB=（）

A、4 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{6}$

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8. 已知直线l与双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别交于 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，且 $x_{1} x_{2} > 0$ ，若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 4$ ，且 $△ A O B$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则E的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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9. 知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $M$ 在 $C$ 的右支上， $M F_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ， $△ M A F_{2}$ 的内切圆与边 $A F_{2}$ 切于点 $B$ .若 $| F_{1} F_{2} | = 4 | A B |$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ B、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ C、 $2 x \pm y = 0$ D、 $x \pm 2 y = 0$

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10. 如图，已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{a + 2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ， M$ 是C上位于第一象限内的一点，且直线 $F_{2} M$ 与 $y$ 轴的正半轴交于A点， $Δ A M F_{1}$ 的内切圆在边 $M F_{1}$ 上的切点为N，若 $| M N | = 2$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若双曲线上存在点P使 $∠ P F_{2} F_{1} = 120 °$ ，则离心率的取值范围是（）

A、 $(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, + \infty)$

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12. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的虚轴的一个顶点为 $N (0, 1)$ ，左顶点为M，双曲线C的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P为线段 $M N$ 上的动点，当 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 取得最小值和最大值时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $S_{2} = 2 S_{1}$ ，则双曲线C的离心率为（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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二、多选题

13. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点 $P$ ，满足 $| P F_{2} | = | F_{1} F_{2} |$ ，且 $F_{2}$ 到直线 $P F_{1}$ 的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）

A、渐近线方程为 $4 x \pm 3 y = 0$ B、渐近线方程为 $3 x \pm 4 y = 0$ C、离心率为 $\frac{5}{3}$ D、离心率为 $\frac{5}{4}$

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三、填空题

14. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{a - 2} = 1$ 的焦点坐标为 $(0, \pm \sqrt{6})$ ，则a的值为.

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15. 设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)的一条渐近线为y= $\sqrt{2}$ x，则C的离心率为．

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则该双曲线的渐近线方程为．

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17. 已知双曲线方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，直线 $y = x + b (b > 0)$ 分别交双曲线左右两支于A，B两点，与 $y$ 轴交于点C，则 $\frac{| A C |}{| B C |}$ 的范围是．

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四、解答题

18. 已知双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $b > 0$ )，直线l与 $Γ$ 交于P､Q两点.

(1)、若点 $(3, 0)$ 是双曲线 $Γ$ 的一个焦点，求 $Γ$ 的渐近线方程；

(2)、若点P的坐标为 $(- 1, 0)$ ，直线 $l$ 的斜率等于1，且 $| P Q | = \frac{8 \sqrt{2}}{3}$ ，求双曲线 $Γ$ 的渐近线方程.

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19. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的虚轴长为 $2 \sqrt{6}$ ，且离心率为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线的方程；

(2)、经过双曲线右焦点 $F_{2}$ 作倾斜角为 $30 °$ 的直线，直线与双曲线交于不同的两点 $A, B$ ，求 $| A B |$ ．

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20. 已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 1$ 及直线 $l : y = k x + 1$ .

(1)、若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2)、若l与C交于A，B两点，O是原点，且 $S_{△ O A B} = \sqrt{2}$ ，求实数k的值.

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21. 已知双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ,顶点到渐近线的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

(1)、求双曲线 $C$ 的方程;

(2)、设 $P$ 是双曲线 $C$ 上 $F$ 点， $A$ , $B$ 两点在双曲线 $C$ 的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 $\vec{A P} = λ \vec{P B}, λ \in [\frac{1}{3}, 2]$ ，求 $Δ A O B$ 面积的取值范围.

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上任意一点（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为 $\frac{1}{9}$ .
（I）求双曲线渐近线的方程；

（Ⅱ）过椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > n > 0)$ 上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于 $M ， N$ 两点，且 $| P M |^{2} + | P N |^{2} = 5$ ，是否存在 $m ， n$ 使得该椭圆的离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，若存在，求出椭圆方程：若不存在，说明理由.

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23. 直线 $L_{1} : \sqrt{2} x + y - 3 \sqrt{3} = 0$ 上的动点 $P$ 到点 $T_{1} (9, 0)$ 的距离是它到点 $T (1, 0)$ 的距离的3倍.

(1)、求点P的坐标；

(2)、设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点是F，双曲线经过动点P，且 $\vec{P F} \cdot \vec{T T_{1}} = 0$ ，求双曲线的方程；

(3)、点 $T (1, 0)$ 关于直线 $x + y = 0$ 的对称点为 $Q$ ，试问能否找到一条斜率为 $k$ （ $k \neq 0$ ）的直线 $L$ 与（2）中的双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 交于不同的两点 $M$ 、 $N$ ，且满足 $| Q M | = | Q N |$ ，若存在，求出斜率 $k$ 的取值范围，若不存在，请说明理由.

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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