湖北省部分重点中学2019-2020学年高一上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2020-08-26 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 下面给出的四类对象中，构成集合的是（）

A、某班个子较高的同学 B、 $\sqrt{3}$ 的近似值 C、大于5的整数 D、长寿的人

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2. 集合 ${- 1, 0, 1}$ 的非空真子集共有（）

A、5个 B、6个 C、7个 D、8个

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3. 下列图象中表示函数图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列四个函数中，在 $(0, + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = | x |$ B、 $y = - x + 1$ C、 $y = x^{2} - 3 x$ D、 $y = \frac{2}{x}$

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5. 若 $f (x) = 4 x - 3, g (2 x - 1) = f (x)$ ，则 $g (2) =$ （）

A、9 B、17 C、2 D、3

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6. 下列各组函数中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数的一组是（）

A、 $f (x) = | x - 1 |$ ， $f (x) = \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ B、 $f (x) = x$ ， $g (x) = {\begin{array}{l} x, x > 0, \\ - x, x < 0, \end{array}$ C、 $f (x) = | x + 2 |$ ， $g (x) = x + 2$ D、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \frac{x^{2}}{x}$

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7. 若函数 $f (x) = 4 x^{2} - k x + 5$ 在 $[5, 8]$ 上是单调函数，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 40]$ B、 $[40, 64]$ C、 $(- \infty, 40] \cup [64, + \infty)$ D、 $[64, + \infty)$

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8. 下列函数是偶函数的是（）

A、 $f (x) = 2 x^{3} + \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = (x + 1) \sqrt{\frac{x + 2}{2 - x}}$ C、 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{| x - 2 | - 2}$ D、 $f (x) = | x + 3 | + | x - 3 |$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - x, x \leq 1, \\ \frac{1}{1 - x}, x > 1, \end{array}$ 则 $f (f (- 2)) =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x - a - 1}$ 的定义域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2]$ B、 $(- \infty, - 2)$ C、 $[- 2, + \infty)$ D、 $(- 2, + \infty)$

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11. 我们从这个商标中抽象出一个图像如图，其对应的函数可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 1}$ B、 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ C、 $f (x) = \frac{1}{| x - 1 |}$ D、 $f (x) = \frac{1}{| | x | - 1 |}$

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12. 已知定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (3 - x) + f (x) = 0$ ，且当 $x \in (- \frac{3}{2}, 0)$ 时， $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ ，则 $f (2020) =$ （）

A、3 B、1 C、-1 D、0

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二、填空题

13. 已知集合A＝ ${x \in N | 1 \leq x \leq 3}$ ，B＝{2，3，4，5}，则A $\cup$ B＝．

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14. 已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $(1, 3)$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域是．

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15. 已知集合 ${a ， \frac{b}{a} ， 4} = {a^{2} ， a + 3 b ， 0}$ ，则 $2 | a | + b =$ ．

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16. 已知 $g (x) = f (x) + x^{2}$ 是奇函数，且 $f (1) = 1$ ，若 $h (x) = f (x) + 11$ ，则 $h (- 1) =$ ．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} + \frac{1}{\sqrt{2 - x}}$ 的定义域为A， $g (x) = x^{2} + 1$ 的值域为B．

(1)、求A，B；

(2)、设全集 $U = R$ ，求 $A \cap (C_{U} B)$

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18. 已知集合 $A = {x | a - 1 \leq x \leq 2 a + 3}$ ， $B = {x | - 2 \leq x \leq 4}$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $A \cup B$ 和 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．

(1)、现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的增区间；

(2)、写出函数f（x）的解析式和值域．

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20. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。

(1)、当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

(2)、当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{2 a + 1}{a} - \frac{1}{a^{2} x}$ ，常数 $a > 0$ ．

(1)、设 $m n > 0$ ，证明：函数 $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上单调递增；

(2)、设 $0 < m < n$ 且 $f (x)$ 的定义域和值域都是 $[m, n]$ ，求 $n - m$ 的最大值．

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22. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足： $f (- \frac{1}{2}) = 2$ ，且对于任意实数 $x$ ， $y$ 恒有 $f (x + y) = f (x) f (y)$ ，当 $x > 0$ 时， $0 < f (x) < 1$ .

(1)、求 $f (0)$ 的值，并证明当 $x < 0$ 时， $f (x) > 1$ ；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性并加以证明；

(3)、若不等式 $f ((a^{2} - a - 2) x^{2} - {(2 a - 1)}^{2} x + 2) > 4$ 对任意 $x \in [1, 3]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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