高中数学人教新课标A版选修2-1 2.1曲线与方程

试卷更新日期：2020-08-25 类型：同步测试

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一、单选题

1. 方程 $\sqrt{x - 2} + {(y + 2)}^{2} = 0$ 表示的图形是（）

A、圆 B、两条直线 C、一个点 D、两个点

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2. 下列所给点中，在方程x²﹣xy+2y+1=0表示的曲线上的是（）

A、（0，0） B、（1，﹣1） C、 $(0 ， - \frac{1}{2})$ D、（1，1）

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3. 已知 $M (- 2, 0)$ ， $N (2, 0)$ ，则以 $M N$ 为斜边的直角三角形的直角顶点 $P$ 的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} + y^{2} = 2$ B、 $x^{2} + y^{2} = 4$ C、 $x^{2} + y^{2} = 2 (x \neq \pm 2)$ D、 $x^{2} + y^{2} = 4 (x \neq \pm 2)$

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4. 方程 $(3 x - 2 y - 6) [\log_{2} (x + 2 y) - 3] = 0$ 表示的图形经过点 $A (0, - 1)$ ， $B (2, 3)$ ， $C (2, 0)$ ， $D (\frac{5}{3}, - \frac{7}{4})$ 中的（）

A、 $0$ 个 B、 $1$ 个 C、 $2$ 个 D、 $3$ 个

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5. 已知两点 $M (- 1, 0)$ 、 $N (1, 0)$ ，点 $P$ 为坐标平面内的动点，满足 $| \vec{M N} | \cdot | \vec{M P} | + \vec{M N} \cdot \vec{N P} = 0$ ，则动点 $P (x, y)$ 的轨迹方程为（）

A、 $y^{2} = - 8 x$ B、 $y^{2} = 8 x$ C、 $y^{2} = 4 x$ D、 $y^{2} = - 4 x$

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6. 方程 $x^{2} + y^{2} = 1 (x y < 0)$ 表示的曲线是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 曲线 $Γ : x^{2} - 2 x y + y^{2} = 1$ 的图像（）

A、关于x轴对称 B、关于原点对称,但不关于直线 $y = x$ 对称 C、关于y轴对称 D、关于直线 $y = x$ 对称，关于直线 $y = - x$ 对称

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8. 已知坐标满足方程 $f (x, y) = 0$ 的点都在曲线 $C$ 上，那么（）

A、曲线 $C$ 上的点的坐标都适合方程 $f (x, y) = 0$ B、凡坐标不适合 $f (x, y) = 0$ 的点都不在 $C$ 上 C、不在 $C$ 上的点的坐标必不适合 $f (x, y) = 0$ D、不在 $C$ 上的点的坐标有些适合 $f (x, y) = 0$ ，有些不适合 $f (x, y) = 0$

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9. 方程为 $2 x^{2} - 4 x + y^{4} = 2$ 的曲线，给出下列四个结论：
① 关于 $x$ 轴对称；② 关于坐标原点对称；③ 关于y轴对称； ④ $1 - \sqrt{2} \leq x \leq 1 + \sqrt{2}$ ， $- \sqrt{2} \leq y \leq \sqrt{2}$ ；

以上结论正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 若由方程x²－y²＝0和x²＋(y－b)²＝2所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数b的取值范围是（）

A、b≥2 或b≤－2 B、b≥2或b≤－2 C、－2≤b≤2 D、－2 ≤b≤2

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11. 一条线段的长等于 $10$ ，两端点 $A, B$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴上滑动， $M$ 在线段 $A B$ 上且 $\vec{A M} = 4 \vec{M B}$ ，则点 $M$ 的轨迹方程是（）

A、 $x^{2} + 16 y^{2} = 64$ B、 $16 x^{2} + y^{2} = 64$ C、 $x^{2} + 16 y^{2} = 8$ D、 $16 x^{2} + y^{2} = 8$

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12. 已知点 $A (- 1, - 1)$ ．若曲线 $G$ 上存在两点 $B, C$ ，使△ $A B C$ 为正三角形，则称 $G$ 为 $Γ$ 型曲线．给定下列三条曲线：
① $y = - x + 3 (0 \leq x \leq 3)$ ；② $y = \sqrt{2 - x^{2}} (- \sqrt{2} \leq x \leq 0)$ ；③ $y = - \frac{1}{x} (x > 0)$ ．
其中， $Γ$ 型曲线的个数是（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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二、多选题

13. 已知曲线 $C : x^{4} + y^{4} = 2$ ，则曲线 $C$ （）

A、关于 $x$ 轴对称 B、关于 $y$ 轴对称 C、关于原点对称 D、关于直线 $y = x$ 轴对称

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三、填空题

14. 一动点到 $y$ 轴距离比到点 $(2, 0)$ 的距离小 $2$ ，则此动点的轨迹方程为.

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15. 如图，在△ $A B C$ 中，已知 $A (- \sqrt{2} ， 0) ， B (\sqrt{2} ， 0)$ ， $C D ⊥ A B$ 于 $D$ ，△ $A B C$ 的垂心为 $H$ ，且 $\vec{C D} = 2 \vec{C H}$ ，则点 $H$ 的轨迹方程为.

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16. 设 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 是曲线 $x^{2} + y^{2} = 2 x - 4 y$ 的两点，则 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1}$ 的最大值是

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17. 数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线 $C ： x^{2} + y^{2} = 1 + | x | y$ 就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上存在到原点的距离超过 $\sqrt{2}$ 的点；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．

其中，所有错误结论的序号是．

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四、解答题

18. 已知B ， C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．

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19. 已知线段 $A B$ 与 $C D$ 互相垂直平分于点 $O$ ， $| A B | = 8, | C D | = 4,$ 动点 $M$ 满足 $| M A | | M B | = | M C | | M D |$ .求动点 $M$ 的轨迹方程．

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20. 已知方程 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 10.$

(1)、判断 $P (1 ， - 2) ， Q (\sqrt{2} ， 3)$ 两点是否在此方程表示的曲线上；

(2)、若点 $M (\frac{m}{2} ， - m)$ 在此方程表示的曲线上，求 $m$ 的值．

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21. 已知曲线 $C$ 是动点 $M$ 到两个定点 $O (0, 0)$ 、 $A (3, 0)$ 距离之比为 $\frac{1}{2}$ 的点的轨迹.

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、求过点 $N (1, 3)$ 且与曲线 $C$ 相切的直线方程.

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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