江苏省徐州市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-24 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.）

1. 3的相反数是（）．

A、-3 B、3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 三角形的两边长分别为 $3 c m$ 和 $6 c m$ ，则第三边长可能为（）

A、 $2 c m$ B、 $3 c m$ C、 $6 c m$ D、 $9 c m$

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4. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共 $20$ 个，这些球除颜色外都相同.小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在 $0.25$ 左右，则袋子中红球的个数最有可能是（）

A、5 B、10 C、12 D、15

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5. 小红连续 $5$ 天的体温数据如下（单位相 $° C$ ）： $36.6$ ， $36.2$ ， $36.5$ ， $36.2$ ， $36.3$ .关于这组数据下列说法正确的是（）

A、中位数是 $36.5 ° C$ B、众数是 $36.2 ° C$ C、平均数是 $36.2 ° C$ D、极差是 $0.3 ° C$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + 2 a^{2} = 3 a^{4}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 ${(a b)}^{2} = a^{2} b^{2}$

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，点 $C$ 在过点 $B$ 的切线上， $O C ⊥ O A$ ， $O C$ 交 $A B$ 于点 $P$ .若 $∠ B P C = 70 °$ ，则 $∠ A B C$ 的度数等于（）

A、 $75 °$ B、 $70 °$ C、 $65 °$ D、 $60 °$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = \frac{4}{x}$ $(x > 0)$ 与 $y = x - 1$ 的图像交于点 $P (a ， b)$ ，则代数式 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）

9. 7的平方根是．

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10. 分解因式： $m^{2} - 4$ = ．

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11. 式子 $\sqrt{x - 3}$ 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是．

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12. 原子很小， $1$ 个氧原子的直径大约为 $0.000000000148 m$ ，将 $0.000000000148$ 用科学记数法表示为.

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13. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别为 $A B$ 、 $B C$ 、 $C A$ 的中点，若 $B F = 5$ ，则 $D E =$ .

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14. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ .若以 $A C$ 所在直线为轴，把 $Δ A B C$ 旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于.

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15. 方程 $\frac{9}{x} = \frac{8}{x - 1}$ 的解为.

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16. 如图， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为一个正多边形的顶点， $O$ 为正多边形的中心，若 $∠ A D B = 18 °$ ，则这个正多边形的边数为.

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17. 如图， $∠ M O N = 30 °$ ，在 $O M$ 上截取 $O A_{1} = \sqrt{3}$ .过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} B_{1} ⊥ O M$ ，交 $O N$ 于点 $B_{1}$ ，以点 $B_{1}$ 为圆心， $B_{1} O$ 为半径画弧，交 $O M$ 于点 $A_{2}$ ；过点 $A_{2}$ 作 $A_{2} B_{2} ⊥ O M$ ，交 $O N$ 于点 $B_{2}$ ，以点 $B_{2}$ 为圆心， $B_{2} O$ 为半径画弧，交 $O M$ 于点 $A_{3}$ ；按此规律，所得线段 $A_{20} B_{20}$ 的长等于.

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18. 在 $Δ A B C$ 中，若 $A B = 6$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，则 $Δ A B C$ 的面积的最大值为.

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三、解答题（本大题共有10小题，共86分.）

19. 计算：

(1)、 ${(- 1)}^{2020} + | \sqrt{2} - 2 | - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ；

(2)、 $(1 - \frac{1}{a}) \div \frac{a^{2} - 2 a + 1}{2 a - 2}$

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20.

(1)、解方程： $2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x - 4 < 5 \\ \frac{2 x - 1}{3} > \frac{x - 2}{2} \end{array}$

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21. 小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作.根据社区的安排志愿者被随机分到 $A$ 组（体温检测）、 $B$ 组（便民代购）、 $C$ 组（环境消杀）.

(1)、小红的爸爸被分到 $B$ 组的概率是；

(2)、某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程）

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22. 某市为了解市民每天的阅读时间，随机抽取部分市民进行调查.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图表：
市民每天的阅读时间统计表
类别
$A$
$B$
$C$
$D$
阅读时间
$x (\min)$
$0 \leq x < 30$
$30 \leq x < 60$
$60 \leq x < 90$
$x \geq 90$
频数
450
400
$m$
50
市民每天的类别阅读时间扇形统计图
根据以上信息解答下列问题：

(1)、该调查的样本容量为， $m =$ ；

(2)、在扇形统计图中，“ $B$ ”对应扇形的圆心角等于 $°$ ；

(3)、将每天阅读时间不低于 $60 \min$ 的市民称为“阅读爱好者”.若该市约有600万人，请估计该市能称为“阅读爱好者”的市民有多少万人.

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23. 如图， $A C ⊥ B C$ ， $D C ⊥ E C$ ， $A C = B C$ . $D C = E C$ ， $A E$ 与 $B D$ 交于点 $F$ .

(1)、求证： $A E = B D$ ；

(2)、求 $∠ A F D$ 的度数.

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24. 本地某快递公司规定：寄件不超过 $1$ 千克的部分按起步价计费；寄件超过 $1$ 千克的部分按千克计费.小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准

目的地

起步价（元）

超过 $1$ 千克的部分

（元 $/$ 千克）

上海

$a$

$b$

北京

$a + 3$

$b + 4$

实际收费

目的地

质量

费用（元）

上海

2

9

北京

3

22

求 $a$ ， $b$ 的值.

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25. 小红和爸爸绕着小区广场锻炼如图在矩形广场 $A B C D$ 边 $A B$ 的中点 $M$ 处有一座雕塑.在某一时刻，小红到达点 $P$ 处，爸爸到达点 $Q$ 处，此时雕塑在小红的南偏东 $45 °$ 方向，爸爸在小红的北偏东 $60 °$ 方向，若小红到雕塑的距离 $P M = 30 m$ ，求小红与爸爸的距离 $P Q$ .（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $\sqrt{6} \approx 2.45$ ）

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26. 如图在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图像经过点 $A (0 ， - 4)$ 、 $B (2 ， 0)$ 交反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ $(x > 0)$ 的图像于点 $C (3 ， a)$ ，点 $P$ 在反比例函数的图象上，横坐标为 $n$ $(0 < n < 3)$ ， $P Q / / y$ 轴交直线 $A B$ 于点 $Q$ ， $D$ 是 $y$ 轴上任意一点，连接 $P D$ 、 $Q D$ .

(1)、求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)、求 $△ D P Q$ 面积的最大值.

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27. 我们知道：如图①，点 $B$ 把线段 $A C$ 分成两部分，如果 $\frac{B C}{A B} = \frac{A B}{A C}$ .那么称点 $B$ 为线段 $A C$ 的黄金分割点.它们的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .

(1)、在图①中，若 $A C = 20 c m$ ，则 $A B$ 的长为 $c m$ ；

(2)、如图②，用边长为 $20 c m$ 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 $A B C D$ 得折痕 $E F$ ，连接 $C E$ ，将 $C B$ 折叠到 $C E$ 上，点 $B$ 对应点 $H$ ，得折痕 $C G$ .试说明 $G$ 是 $A B$ 的黄金分割点；

(3)、如图③，小明进一步探究：在边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上任取点 $E$ $(A E > D E)$ ，连接 $B E$ ，作 $C F ⊥ B E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，延长 $E F$ 、 $C B$ 交于点 $P$ .他发现当 $P B$ 与 $B C$ 满足某种关系时 $E$ 、 $F$ 恰好分别是 $A D$ 、 $A B$ 的黄金分割点.请猜想小明的发现，并说明理由.

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28. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = - a x^{2} + 2 a x + 3 a$ $(a > 0)$ 的图像交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，它的对称轴交 $x$ 轴于点 $E$ .过点 $C$ 作 $C D / / x$ 轴交抛物线于点 $D$ ，连接 $D E$ 并延长交 $y$ 轴于点 $F$ ，交抛物线于点 $G$ .直线 $A F$ 交 $C D$ 于点 $H$ ，交抛物线于点 $K$ ，连接 $H E$ 、 $G K$ .

备用图

(1)、点 $E$ 的坐标为：；

(2)、当 $Δ H E F$ 是直角三角形时，求 $a$ 的值；

(3)、 $H E$ 与 $G K$ 有怎样的位置关系？请说明理由.

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目的地	质量	费用（元）
上海	2	9
北京	3	22