辽宁省铁岭、葫芦岛市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-24 类型：中考真卷

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一、选择题

1. $- \frac{1}{3}$ 的绝对值是（）

A、3 B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 下图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{8} \div a^{4} = a^{2}$ C、 $5 a - 3 a = 2 a$ D、 ${(- a b^{2})}^{2} = - a^{2} b^{4}$

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4. 一组数据1，4，3，1，7，5的众数是（）

A、1 B、2 C、2.5 D、3.5

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5. 一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 不等式组 ${\begin{array}{l} 3 + x > 1 \\ 2 x - 3 \leq 1 \end{array}$ 的整数解的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工.甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程.已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工 $x$ 米，乙工程队每天施工 $y$ 米，根据题意，所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = y - 2 \\ 2 x + 3 y = 400 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = y - 2 \\ 2 x + 3 (x + y) = 400 - 50 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = y + 2 \\ 2 x + 3 y = 400 - 50 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = y + 2 \\ 2 x + 3 (x + y) = 400 - 50 \end{array}$

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8. 一个零件的形状如图所示， $A B / / D E ， A D / / B C ， ∠ C B D = 60^{°} ， ∠ B D E = 40^{°}$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、70° B、80° C、90° D、100°

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9. 如图，矩形 $A B C D$ 的顶点 $D$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，点 $E (1 ， 0)$ 和点 $F (0 ， 1)$ 在 $A B$ 边上， $A E = E F$ ，连接 $D F ， D F / / x$ 轴，则 $k$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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10. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象的对称轴是直线 $x = 1$ ，则以下四个结论中：① $a b c > 0$ ，② $2 a + b = 0$ ，③ $4 a + b^{2} < 4 a c$ ，④ $3 a + c < 0$ .正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

11. 伴随“互联网+”时代的来临，预计到2025年，我国各类网络互助平台的实际参与人数将达到450000000人，将数据450000000科学记数法表示为.

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12. 分解因式： $a b^{2} - 9 a$ =.

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13. 甲、乙两人参加“环保知识”竞赛，经过6轮比赛，他们的平均成绩都是97分.如果甲、乙两人比赛成绩的方差分别为 $s_{甲}^{2} = 6.67, s_{乙}^{2} = 2.50$ ，则这6次比赛成绩比较稳定的是.（填“甲”或“乙”）

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14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - k = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5 ， A C = 8 ， B C = 9$ ，以 $A$ 为圆心，以适当的长为半径作弧，交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A C$ 于点 $N$ ，分别以 $M ， N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ B A C$ 的内部相交于点 $G$ ，作射线 $A G$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，点 $F$ 在 $A C$ 边上， $A F = A B$ ，连接 $D F$ ，则 $△ C D F$ 的周长为.

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16. 如图，以 $A B$ 为边，在 $A B$ 的同侧分别作正五边形 $A B C D E$ 和等边 $△ A B F$ ，连接 $F E ， F C$ ，则 $∠ E F A$ 的度数是.

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17. 一张菱形纸片 $A B C D$ 的边长为 $6 cm$ ，高 $A E$ 等于边长的一半，将菱形纸片沿直线 $M N$ 折叠，使点 $A$ 与点 $B$ 重合，直线 $M N$ 交直线 $C D$ 于点 $F$ ，则 $D F$ 的长为 $cm$ .

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18. 如图， $∠ M O N = 45^{°}$ ，正方形 $A B B_{1} C$ ，正方形 $A_{1} B_{1} B_{2} C_{1}$ ，正方形 $A_{2} B_{2} B_{3} C_{2}$ ，正方形 $A_{3} B_{3} B_{4} C_{3}$ ，…，的顶点 $A ， A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， \dots$ ，在射线 $O M$ 上，顶点 $B ， B_{1} ， B_{2} ， B_{3} ， B_{4} ， \dots$ ，在射线 $O N$ 上，连接 $A B_{2}$ 交 $A_{1} B_{1}$ 于点 $D$ ，连接 $A_{1} B_{3}$ 交 $A_{2} B_{2}$ 于点 $D_{1}$ ，连接 $A_{2} B_{4}$ 交 $A_{3} B_{3}$ 于点 $D_{2}$ ，…，连接 $B_{1} D_{1}$ 交 $A B_{2}$ 于点 $E$ ，连接 $B_{2} D_{2}$ 交 $A_{1} B_{3}$ 于点 $E_{1}$ ，…，按照这个规律进行下去，设 $△ A C D$ 与 $△ B_{1} D E$ 的面积之和为 $S_{1} ， △ A_{1} C_{1} D_{1}$ 与 $△ B_{2} D_{1} E_{1}$ 的面积之和为 $S_{2} ， △ A_{2} C_{2} D_{2}$ 与 $△ B_{3} D_{2} E_{2}$ 的面积之和为 $S_{3}$ ，…，若 $A B = 2$ ，则 $S_{n}$ 等于.（用含有正整数 $n$ 的式子表示）

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $(x - 1 - \frac{x^{2}}{x + 1}) \div \frac{x}{x^{2} + 2 x + 1}$ ，其中 $x = 3$ .

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20. 某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组.为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图.

根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次被调查的学生有人；

(2)、请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；

(3)、通过了解，喜爱“航模”的学生中有2名男生和2名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这4个人中随机选取2人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率.

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21. 某中学为了创设“书香校园”，准备购买 $A, B$ 两种书架，用于放置图书.在购买时发现， $A$ 种书架的单价比 $B$ 种书架的单价多20元，用600元购买 $A$ 种书架的个数与用480元购买 $B$ 种书架的个数相同.

(1)、求 $A, B$ 两种书架的单价各是多少元？

(2)、学校准备购买 $A, B$ 两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个 $A$ 种书架？

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22. 如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 $A B$ ，在观测点 $C$ 处测得大桥主架顶端 $A$ 的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点 $B$ 的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离 $C M$ 为60米，且 $A B$ 垂直于桥面.（点 $A ， B ， C ， M$ 在同一平面内）

（参考数据 $\sin 14^{°} \approx 0.24 ， \cos 14^{°} \approx 0.97 ， \tan 14^{°} \approx 0.25 ， \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

(1)、求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）

(2)、求大桥主架在水面以上的高度 $A B$ .（结果精确到1米）

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23. 小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量 $y$ （本）与销售单价 $x$ （元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：

销售单价 $x$ （元）

12

14

16

每周的销售量 $y$ （本）

500

400

300

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为 $x$ 元（ $12 ⩽ x ⩽ 15$ ，且 $x$ 为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为 $w$ 元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？

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24. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O ， A C$ 是直径， $A B = B C$ ，连接 $B D$ ，过点 $D$ 的直线与 $C A$ 的延长线相交于点 $E$ ，且 $∠ E D A = ∠ A C D$ .

(1)、求证：直线 $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = 6$ ， $C D = 8$ ，求 $B D$ 的长.

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25. 在等腰 $△ A D C$ 和等腰 $△ B E C$ 中， $∠ A D C = ∠ B E C = 90 °$ ， $B C < C D$ ，将 $△ B E C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转，连接 $A B$ ，点 $O$ 为线段 $A B$ 的中点，连接 $D O ， E O$ .

(1)、如图1，当点 $B$ 旋转到 $C D$ 边上时，请直接写出线段 $D O$ 与 $E O$ 的位置关系和数量关系；

(2)、如图2，当点 $B$ 旋转到 $A C$ 边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由.

(3)、若 $B C = 4 ， C D = 2 \sqrt{6}$ ，在 $△ B E C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转的过程中，当 $∠ A C B = 60^{°}$ 时，请直接写出线段 $O D$ 的长.

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + \frac{9}{4} x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴相交于点 $A (- 1 ， 0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C (0 ， 3)$ ，作直线 $B C$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在直线 $B C$ 上方的抛物线上存在点 $D$ ，使 $∠ D C B = 2 ∠ A B C$ ，求点 $D$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，点 $F$ 的坐标为 $(0 ， \frac{7}{2})$ ，点 $M$ 在抛物线上，点 $N$ 在直线 $B C$ 上，当以 $D ， F ， M ， N$ 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点 $N$ 的坐标.

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销售单价 $x$ （元）	12	14	16
每周的销售量 $y$ （本）	500	400	300