辽宁省丹东市2020年中考数学试卷

试卷更新日期：2020-08-24 类型：中考真卷

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一、选择题

1. －5的绝对值等于（）

A、－5 B、5 C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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2. 下面计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{3} = 2 a^{3}$ B、 $2 a^{2} + a^{2} = 3 a^{4}$ C、 $a^{9} \div a^{3} = a^{3}$ D、 ${(- 3 a^{2})}^{3} = - 27 a^{6}$

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3. 如图所示，该几何体的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 在函数 $y = \sqrt{9 - 3 x}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \leq 3$ B、 $x < 3$ C、 $x \geq 3$ D、 $x > 3$

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5. 四张背面完全相同的卡片，正面分别印有等腰三角形、圆、平行四边形、正六边形，现在把它们的正面向下，随机的摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到的卡片正面是中心对称图形的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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6. 如图， $CO$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，过点 $B$ 作 $B D // A C$ 交 $CO$ 延长线于点 $D$ ，若 $∠ A = 45 °$ ， $∠ A O D = 80 °$ ，则 $∠ C B D$ 的度数为（）

A、100° B、110° C、125° D、135°

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7. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = C D$ ， $∠ B = 60 °$ ， $A D = 8 \sqrt{3}$ ，分别以 $B$ 和 $C$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $P$ 和 $Q$ ，直线 $P Q$ 与 $B A$ 延长线交于点 $E$ ，连接 $C E$ ，则 $Δ B C E$ 的内切圆半径是（）

A、4 B、 $4 \sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，点 $C$ 在 $(0 ， 2)$ 与 $(0 ， 3)$ 之间（不包括这两点），抛物线的顶点为 $D$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ，有以下结论：① $a b c > 0$ ；②若点 $M (- \frac{1}{2} ， y_{1})$ ，点 $N (\frac{7}{2} ， y_{2})$ 是函数图象上的两点，则 $y_{1} < y_{2}$ ；③ $- \frac{3}{5} < a < - \frac{2}{5}$ ；④ $Δ A D B$ 可以是等腰直角三形.其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 据有关报道，2020年某市斥资约5 800 000元改造老旧小区，数据5 800 000科学记数法表示为.

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10. 因式分解： $m n^{3} - 4 m n =$ .

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11. 一次函数 $y = - 2 x + b$ ，且 $b > 0$ ，则它的图象不经过第象限.

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12. 甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：2，3，5，7，8，那么成绩较稳定的是（填“甲”或“乙”）.

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13. 关于 $x$ 的方程 $(m + 1) x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 有两个实数根，则 $m$ 的取值范围是.

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14. 如图，矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上，点 $D$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，若 $\sin ∠ C A B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\cos ∠ O C B = \frac{4}{5}$ ，则 $k =$ .

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ A C$ ， $A D = A C$ ， $∠ B A D = 105 °$ ，点 $E$ 和点 $F$ 分别是 $A C$ 和 $C D$ 的中点，连接 $B E$ ， $E F$ ， $B F$ ，若 $C D = 8$ ，则 $Δ B E F$ 的面积是.

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16. 如图，在矩形 $O A A_{1} B$ 中， $O A = 3$ ， $A A_{1} = 2$ ，连接 $O A_{1}$ ，以 $O A_{1}$ 为边，作矩形 $O A_{1} A_{2} B_{1}$ 使 $A_{1} A_{2} = \frac{2}{3} O A_{1}$ ，连接 $O A_{2}$ 交 $A_{1} B$ 于点 $C$ ；以 $O A_{2}$ 为边，作矩形 $O A_{2} A_{3} B_{2}$ ，使 $A_{2} A_{3} = \frac{2}{3} O A_{2}$ ，连接 $O A_{3}$ 交 $A_{2} B_{1}$ 于点 $C_{1}$ ；以 $O A_{3}$ 为边，作矩形 $O A_{3} A_{4} B_{3}$ ，使 $A_{3} A_{4} = \frac{2}{3} O A_{3}$ ，连接 $O A_{4}$ 交 $A_{3} B_{2}$ 于点 $C_{2}$ ；…按照这个规律进行下去，则 $Δ C_{2019} C_{2020} A_{2022}$ 的面积为.

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三、解答题

17. 先化简，再求代数式的值： $(\frac{4 x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}) \div \frac{x}{x^{2} - 4}$ ，其中 $x = \cos 60 ° + 6^{- 1}$ .

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18. 如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标分别为 $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， 1)$ ， $C (2 ， 3)$ ，先以原点 $O$ 为位似中心在第三象限内画一个 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使它与 $Δ A B C$ 位似，且相似比为2：1，然后再把 $Δ A B C$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转90°得到 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ .

（ 1）画出 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并直接写出点 $A_{1}$ 的坐标；

（ 2 ）画出 $Δ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，直接写出在旋转过程中，点 $A$ 到点 $A_{2}$ 所经过的路径长.

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19. 某校为了解疫情期间学生居家学习情况，以问卷调查的形式随机调查了部分学生居家学习的主要方式（每名学生只选最主要的一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.

种类

$A$

$B$

$C$

$D$

$E$

学习方式

老师直播

教学课程

国家教育云平台

教学课程

电视台播放

教学课程

第三方

网上课程

其他

根据以上信息回答下列问题：

(1)、参与本次问卷调查的学生共有人，其中选择

B

类型的有人；

(2)、在扇形统计图中，求

D

所对应的圆心角度数，并补全条形统计图；

(3)、该校学生人数为1250人，选择

A

、

B

、

C

三种学习方式大约共有多少人？

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20. 在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀.

(1)、从中随机摸出一个小球，小球上写的数字不大于3的概率是；

(2)、若从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是偶数的概率.

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21. 为帮助贫困山区孩子学习，某学校号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是1800本，八年级捐书人数比七年级多150人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的1.5倍，求八年级捐书人数是多少？

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22. 如图，已知 $Δ A B C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ， $∠ C B D$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，且 $A F = A B$ .

(1)、判断 $B C$ 所在直线与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $\tan ∠ F B C = \frac{1}{3}$ ， $D F = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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23. 如图，小岛 $C$ 和 $D$ 都在码头 $O$ 的正北方向上，它们之间距离为 $6.4 km$ ，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头 $O$ 的正西方向 $A$ 处时，测得 $∠ C A O = 26.5 °$ ，渔船速度为 $28 km / h$ ，经过 $0 .2h$ ，渔船行驶到了 $B$ 处，测得 $∠ D B O = 49 °$ ，求渔船在 $B$ 处时距离码头 $O$ 有多远？（结果精确到 $0.1 km$ ）
（参考数据： $\sin 26.5 ° \approx 0.45$ ， $\cos 26.5 ° \approx 0.89$ ， $\tan 26.5 ° \approx 0.50$ ， $\sin 49 ° \approx 0.75$ ， $\cos 49 ° \approx 0.66$ ， $\tan 49 ° \approx 1.15$ ）

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24. 某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 $y$ （件）与每件的售价 $x$ （元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

售价 $x$ （元/件）

60

65

70

销售量 $y$ （件）

1400

1300

1200

(1)、求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；（不需要求自变量 $x$ 的取值范围）

(2)、该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？

(3)、物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为 $w$ （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

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25. 已知：菱形 $A B C D$ 和菱形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $∠ B A D = ∠ B^{'} A^{'} D^{'}$ ，起始位置点 $A$ 在边 $A^{'} B^{'}$ 上，点 $B$ 在 $A^{'} B^{'}$ 所在直线上，点 $B$ 在点 $A$ 的右侧，点 $B^{'}$ 在点 $A^{'}$ 的右侧，连接 $A C$ 和 $A^{'} C^{'}$ ，将菱形 $A B C D$ 以 $A$ 为旋转中心逆时针旋转 $α$ 角（ $0 ° < α < 180 °$ ）.

(1)、如图1，若点 $A$ 与 $A^{'}$ 重合，且 $∠ B A D = ∠ B^{'} A^{'} D^{'} = 90 °$ ，求证： $B B^{'} = D D^{'}$ ；

(2)、若点 $A$ 与 $A^{'}$ 不重合， $M$ 是 $A^{'} C^{'}$ 上一点，当 $M A^{'} = M A$ 时，连接 $B M$ 和 $A^{'} C$ ， $B M$ 和 $A^{'} C$ 所在直线相交于点 $P$ ；
①如图2，当 $∠ B A D = ∠ B^{'} A^{'} D^{'} = 90 °$ 时，请猜想线段 $B M$ 和线段 $A^{'} C$ 的数量关系及 $∠ B P C$ 的度数；

②如图3，当 $∠ B A D = ∠ B^{'} A^{'} D^{'} = 60 °$ 时，请求出线段 $B M$ 和线段 $A^{'} C$ 的数量关系及 $∠ B P C$ 的度数；

③在②的条件下，若点 $A$ 与 $A^{'} B^{'}$ 的中点重合， $A^{'} B^{'} = 4$ ， $A B = 2$ ，在整个旋转过程中，当点 $P$ 与点 $M$ 重合时，请直接写出线段 $B M$ 的长.

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26. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点， $A$ 点坐标为 $(- 2 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，直线 $y = - \frac{1}{2} x + m$ 与抛物线交于 $B$ ， $D$ 两点.

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、求 $m$ 的值和 $D$ 点坐标；

(3)、点 $P$ 是直线 $B D$ 上方抛物线上的动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$ ，交直线 $B D$ 于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $x$ 轴的平行线，交 $P H$ 于点 $N$ ，当 $N$ 是线段 $P F$ 的三等分点时，求 $P$ 点坐标；

(4)、如图2， $Q$ 是 $x$ 轴上一点，其坐标为 $(- \frac{4}{5} ， 0)$ ，动点 $M$ 从 $A$ 出发，沿 $x$ 轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设 $M$ 的运动时间为 $t$ （ $t > 0$ ），连接 $A D$ ，过 $M$ 作 $M G ⊥ A D$ 于点 $G$ ，以 $M G$ 所在直线为对称轴，线段 $A Q$ 经轴对称变换后的图形为 $A^{'} Q^{'}$ ，点 $M$ 在运动过程中，线段 $A^{'} Q^{'}$ 的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段 $A^{'} Q^{'}$ 与抛物线有公共点时 $t$ 的取值范围.

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售价 $x$ （元/件）	60	65	70
销售量 $y$ （件）	1400	1300	1200