天津市五校2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集U=R ，集合 $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}$ ， $B = {x \in R | x \geq 3}$ ，则A∩C_UB（）

A、 ${4, 5}$ B、 ${3, 4, 5}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${0, 1, 2, 3}$

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2. 若命题 $P : \forall x \geq 0$ ， $e^{x} + 2 x - 1 \geq 0$ ，则命题Р的否定为（）

A、 $\exists x_{0} < 0$ ， $e^{x_{0}} + 2 x_{0} - 1 < 0$ B、 $\forall x_{0} \geq 0$ ， $e^{x} + 2 x - 1 < 0$ C、 $\exists x_{0} \geq 0$ ， $e^{x_{0}} + 2 x_{0} - 1 < 0$ D、 $\exists x_{0} < 0$ ， $e^{x_{0}} + 2 x_{0} - 1 \geq 0$

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3. “ $x < - 2$ ”是“ $\ln (x + 3) < 0$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $a_{3} + a_{4} = 6$ ， $2 a_{5} = 9$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、 $\frac{35}{2}$ B、21 C、 $\frac{49}{2}$ D、 $28$

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5. 二项式 ${(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（）

A、-160 B、-80 C、80 D、160

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6. 从5名男生和4名女生中选出3名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是（）

A、70 B、74 C、84 D、504

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7. 已知函数 $f (x)$ 为奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = x^{3} + a \ln (- x)$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线的斜率是1，则实数 $a =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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8. 已知定义域为R的奇函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) > f (x)$ .若 $a = \frac{f (- \log_{2} 3)}{- \log_{2} 3} ， b = \frac{f (\log_{4} 6)}{\log_{4} 6} ， c = \frac{f (\sin \frac{π}{8})}{\sin \frac{π}{8}}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + k x + 2 k^{2} ， x ⩽ 0 \\ | \ln x | ， x > 0 \end{array}$ ，若关于x的不等式 $f (x) ⩽ k$ 的解集为 $[m ， n] \cup [a ， b]$ ，且 $n < a$ ， $m n + a b - \frac{1}{2} k < \frac{27}{32}$ ，则实数k的取值范围为（）

A、 $(\frac{5}{16} ， \frac{4}{7})$ B、 $(\frac{1}{8} ， \frac{4}{7})$ C、 $(\frac{1}{8} ， \frac{5}{8})$ D、 $[\frac{1}{2} ， \frac{4}{7})$

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二、填空题

10. 已知 ${(2 x - 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + a_{3} {(x + 1)}^{3} + a_{4} {(x + 1)}^{4}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ .

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11. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝.

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12. 如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．

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13. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 4 x (x \geq 0) \\ 4 x - x^{2} (x < 0) \end{array}$ ，若 $f (2 - a^{2}) > f (a)$ ，则实数a的取值范围是.

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14. 已知函数 $f (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上单调，且函数 $y = f (x - 2)$ 的图象关于 $x = 1$ 对称，若数列 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列，且 $f (a_{50}) = f (a_{51})$ ，则 $a_{1} + a_{100}$ 等于.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} a - | x + 1 |, x \leq 1 \\ \begin{matrix} {(x - a)}^{2} & x > 1 \end{matrix} \end{matrix}$ ，函数 $g (x) = 2 - f (x)$ ，若函数 $y = f (x) - g (x)$ 恰有 $4$ 个不同的零点，则实数 $a$ 的取值范围为．

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三、解答题

16. 一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，试验不成功的概率都是 $\frac{1}{3}$ 甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，每次实验相互独立，且要从两套方案中等可能地选择一套.

(1)、求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；

(2)、记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X，求X的分布列和期望 $E X$ .

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17. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $2 a_{2} = a_{4} - a_{3}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 1 + 2 \log_{2} a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ 求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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18. 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满 $200$ 元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有 $5$ 只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励 $20$ 元；共两只球都是绿色，则奖励 $10$ 元；若两只球颜色不同，则不奖励．

(1)、求一名顾客在一次摸奖活动中获得 $20$ 元的概率；

(2)、记 $X$ 为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = a_{n + 1} + 2 n - 8 ， n \in N^{*} ， a_{1} = 8$ ，设 $b_{n} = a_{n} - 2$ .
（Ⅰ）证明： ${b_{n}}$ 是等比数列；

（Ⅱ）设 $c_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{a_{n}}{(2^{n} + 1) (2^{n + 1} + 1)}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，若对于任意 $n \in N^{*} ， λ \geq T_{n}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = a ln x + \frac{a + 1}{2} x^{2} + 1$ .

(1)、当 $a = - \frac{1}{2}$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $- 1 < a < 0$ 时，有 $f (x) > 1 + \frac{a}{2} ln (- a)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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