天津市部分区2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $A = {1, 5}$ ，集合 $B = {2}$ ，则集合 $(C_{U} A) \cup B$ ＝（）

A、 ${0, 2, 3, 4}$ B、 ${0, 3, 4}$ C、 ${2}$ D、 $\emptyset$

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2. $x = - 1$ 是 $| x | = 1$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. 下列四个函数中，在 $(0, + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $f (x) = 3 - x$ B、 $f (x) = x^{2} - 3 x$ C、 $f (x) = - \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = - | x |$

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \ln x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (1)$ 的值为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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5. 函数 $f (x) = 2^{x} + x - 5$ 的零点所在区间为（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(- 1, 0)$

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6. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 8$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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7. 已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{2}{5}}, b = {(\frac{2}{5})}^{- \frac{1}{3}}, c = \log_{2} \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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8. 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{5}$ 和P，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为 $\frac{7}{30}$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{18}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{5}$

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9. 若 ${(2 x^{2} - \frac{3}{\sqrt{x}})}^{n}$ $(n \in N^{*})$ 的展开式中常数项为第9项，则n的值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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10. 函数 $f (x) = \frac{\cos x}{\ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、、 C、 D、

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二、填空题

11. 从5名高中生、4名初中生、3名小学生中各选一人的不同选法共有种.

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12. 命题“ $\exists x < 0$ ， ${(\frac{1}{2})}^{x} < 1$ ”的否定是.

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13. 曲线 $y = e^{x} - 2 x$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线的倾斜角大小为.

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14. 两位射击选手彼此独立地向同一目标射击一次，若甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则目标被击中的概率为.

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15. 已知 $△ A B C$ 中，D为边 $B C$ 上的点，且 $B D = 2 D C$ ，若 $\vec{A D} = m \vec{A B} + n \vec{A C} (m ， n \in R)$ ，则 $m - n =$ .

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间.

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17. 已知集合 $A = {2 ， 3 ， a^{2} + 4 a + 2}$ ， $B = {0 ， 7 ， 2 - a ， a^{2} + 4 a - 2}$ ， $A \cap B = {3, 7}$ .求a的值及集合 $A \cup B$ 。

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18. 已知 $2 A_{n}^{2} = 3 C_{n}^{3} (n \in N^{*})$ .

(1)、求n的值；

(2)、求 ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{n}$ 展开式中 $x^{2}$ 项的系数.

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19. 某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{5}$ ,现安排甲组研发新产品 $A$ ,乙组研发新产品 $B$ .设甲,乙两组的研发是相互独立的.

(1)、求至少有一种新产品研发成功的概率;

(2)、若新产品 $A$ 研发成功,预计企业可获得 $120$ 万元,若新产品 $B$ 研发成功,预计企业可获得利润 $100$ 万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.

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20. 已知函数 $f (x) = x \ln x + x$ ， $g (x) = \frac{x}{e^{x}}$ .

(1)、设 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，求 $f^{'} (e)$ 的值；

(2)、若不等式 $f (x) g (x) \leq a x^{2} (a \in R)$ 对 $x \in [1 ， + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的最小值.

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