陕西省西安市莲湖区2019-2020学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列说法中不正确的是（）

A、独立性检验是检验两个分类变量是否有关的一种统计方法 B、独立性检验得到的结论一定是正确的 C、独立性检验的样本不同，其结论可能不同 D、独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法

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2. 已知随机变量 $X$ 的分布列如下，则 $p =$ （）

X

0

1

2

3

P

$\frac{1}{12}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{6}$

p

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{12}$

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3. 已知 ${(1 + x)}^{n}$ 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则 $n =$ （）

A、9 B、11 C、10 D、12

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4. 汽车上有8名乘客，沿途有4个车站，每名乘客可任选1个车站下车，则乘客不同的下车方法数为（）．

A、 $4^{8}$ B、 $8^{4}$ C、 $A_{8}^{4}$ D、 $C_{8}^{4}$

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5. 已知随机变量 $ξ$ ， $η$ 满足 $η = - 2 ξ + 5$ ，若 $E (ξ) = 3$ ， $D (ξ) = 2$ ，则（）．

A、 $E (η) = - 1$ ， $D (η) = 8$ B、 $E (η) = - 1$ ， $D (η) = - 4$ C、 $E (η) = 3$ ， $D (η) = 2$ D、 $E (η) = - 3$ ， $D (η) = 1$

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6. $C_{4}^{4} + C_{5}^{4} + C_{6}^{4} + C_{7}^{4} + C_{8}^{4} + C_{9}^{4} =$ （）．

A、 $C_{10}^{4}$ B、 $C_{10}^{5}$ C、 $C_{10}^{6}$ D、 $A_{10}^{4}$

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7. 若随机变量 $X$ 的分布列如下：

X

-3

-2

0

1

2

3

P

0.1

0.2

0.2

0.3

0.1

0.1

则当 $P (X < m) = 0.5$ 时， $m$ 的取值范围是（）

A、 $m ⩽ 2$ B、 $0 < m \leq 1$ C、 $0 < m \leq 2$ D、 $1 < m < 2$

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8. 设服从二项分布 $B (n, p)$ 的随机变量X的期望与方差分别是10和8，则 $n ， p$ 的值分别是（）

A、 $50, \frac{1}{5}$ B、 $60, \frac{1}{5}$ C、 $50, \frac{4}{5}$ D、 $60, \frac{4}{5}$

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9. 某射击运动员击中目标的概率是 $\frac{2}{3}$ ，他连续射击2次，且各次射击是否击中目标相互没有影响.现有下列结论：①他第2次击中目标的概率是 $\frac{2}{3}$ ；②他恰好击中目标1次的概率是 $\frac{2}{9}$ ；③他至少击中目标1次的概率是 $\frac{8}{9}$ .其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②③ C、①③ D、①②③

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10. 某比赛共有9支球队参赛，其中有2支弱队，以抽签方式将这9支球队平均分为3组，2支弱队不在同一组的概率为（）．

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{4}{7}$

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11. 元宵节灯展后，悬挂有8盏不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，则不同的取法共有（）．

A、32种 B、70种 C、90种 D、280种

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12. 一个不透明的袋中装有6个白球，4个红球球除颜色外，无任何差异．从袋中往外取球，每次任取1个，取出后记下颜色不放回，若为红色则停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量 $X$ ，则 $P (X \leq 2 \sqrt{2}) =$ （）．

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{5}{18}$

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二、填空题

13. 若 $3 A_{n}^{3} = 2 n C_{n}^{2}$ ，则 $n =$ ．

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14. 在极坐标系中，曲线C的方程为 $ρ^{2} - 8 ρ \cos θ - 10 ρ \sin θ + 32 = 0$ ，直线 $l$ 的方程为 $θ = θ_{0} (ρ \in R)$ ， $\tan θ_{0} = 2$ ，若l与C交于A，B两点，O为极点，则 $| O A | + | O B | =$ ．

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15. 若不等式 $| x - 2 | + | x - a | > 2 a$ 对 $x \in (2, + \infty)$ 恒成立，则a的取值范围是．

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16. 某县城中学安排5位老师（含甲）去3所不同的村小（含A小学）支教，每位老师只能支教1所村小，且每所村小学都有老师支教，其中至少安排2位老师去A小学，但是甲不去A校，则不同的安排方法数为.

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三、双空题

17. 在某市高二的联考中，这些学生的数学成绩 $ξ$ 服从正态分布 $N (100, 100)$ ，随机抽取10位学生的成绩，记X表示抽取的10位学生成绩在 $(80, 120)$ 之外的人数，则 $P (X \geq 1) =$ ， X的数学期望 $E X =$ ．
附：若随机变量Z服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 2 σ < Z < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < Z < μ + 3 σ) = 0.9974$ ，取 ${0.9544}^{10} = 0.6271$ ， ${0.9974}^{10} = 0.9743$ ．

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四、解答题

18. 在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付，出门不带现金的人数正在迅速增加．某机构随机抽取了一组市民，并统计他们各自出门随身携带现金（单位：元）的情况，制作出如图所示的茎叶图．规定：随身携带的现金在100元以下（不含100元）的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”．

(1)、根据茎叶图的数据，完成答题卡上的

2 \times 2

列联表；

	男生	女生	合计
手机支付族
非手机支付族
合计			45

(2)、根据（1）中的列联表，判断是否有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关．

附：

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} (n = a + b + c + d)$

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19. 若 $(x + a) {(x - 1)}^{8} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{9} x^{9}$ ，且 $a_{5} = 14$ ．

(1)、求实数a的值；

(2)、求 $a_{1} + \frac{a_{2}}{2} + \frac{a_{3}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{9}}{2^{8}}$ 的值．

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20. 每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：

年龄段（单位：岁）	$[15, 25)$	$[25, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 65)$	$[65, 75]$
被调查的人数	10	15	20	$m$	25	5
赞成的人数	6	12	$n$	20	12	2

(1)、从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在

[35, 45)

的概率为

\frac{1}{5}

，求出表格中m，

n

的值；

(2)、若从年龄在

[45, 55)

的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X，求X的分布列．

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21. 某环保小组为了检测n（ $n \in N$ 且 $n > 2$ ）条河流是否含有某种细菌，现对这n条河流进行取样检测（每一条河流取一份水样样本）．以往的检测方法是将样本逐份检测，为了提高检测的效率，该环保小组设计了混合检测法，其步骤如下：将其中m（ $m \in N$ 且 $2 \leq m < n$ ）份水样样本分别取样混合在一起检测，若检测结果不含该细菌，则这 $m$ 份水样样本只要检测这一次即可；若检测结果含有该细菌，为了明确这m份水样究竟哪份或哪几份含有该细菌，需要对这 $m$ 份再逐份检测，此时这m份水样样本的检测总次数为 $m + 1$ ．针对这n份水样样本，先采取混合检测，剩余的水样样本再逐份检测．假设在接受检测的水样样本中，每份样本是否含有该细菌相互独立，且每份样本含有该细菌的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、若 $n = 3$ ， $p = \frac{1}{6}$ ，设所有水样样本检测结束时检测总次数为X，求X的分布列；

(2)、假设 $n > 12$ ，在混合检测中，取其中k（ $k \in N$ 且 $2 \leq k < n$ ）份水样样本，记这 $k$ 份样本需要检测的总次数为Y．若Y的数学期望 $E (Y) = k$ ，求p（用k表示），并求当 $k = 6$ 时p的估计值（结果保留三位有效数字）．
参考数据： $\sqrt[6]{6} \approx 1.3480$ ．

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22. 在直角坐标系xOy中，P（0，1），曲线C₁的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为 $ρ = 4 \cos θ$ ．

(1)、求曲线C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；

(2)、曲线C₁与C₂交于M，N两点，求||PM|﹣|PN||．

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23. 已知a＞0，b＞0，a+b＝3．

(1)、求 $\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{b}$ 的最小值；

(2)、证明： $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} ⩾ \frac{9}{2 a b}$

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24. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \cos α \\ y = 1 + t \sin α \end{array}$ （t为参数， $α \in [0, π)$ ），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ = 4 \sin θ$ ．

(1)、判断直线l与曲线C的交点个数；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = \sqrt{13}$ ，求直线 $l$ 的直角坐标方程．

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25. 已知 $f (x) = | 2 x - a | + 2 | x + 3 | (a > 0)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 9$ 的解集；

(2)、当 $f (x)$ 取得最小值为9时，求a的值，并求出此时 $x$ 的取值范围．

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X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$	p

X	-3	-2	0	1	2	3
P	0.1	0.2	0.2	0.3	0.1	0.1