陕西省渭南市大荔县2019-2020学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. $i$ 是虚数单位，复数 $z = 1 - i$ 在复平面上对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 命题“ $\exists x \leq 0, x^{2} - x > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x > 0, x^{2} - x \leq 0$ B、 $\forall x \leq 0, x^{2} - x \leq 0$ C、 $\exists x > 0, x^{2} - x \leq 0$ D、 $\exists x \leq 0, x^{2} - x \leq 0$

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{8} = 10, a_{3} = 7$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、-1 B、-2 C、1 D、2

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4. 已知一组样本数据点 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3}), \dots, (x_{6}, y_{6})$ ，用最小二乘法求得其线性回归方程为 $\hat{y} = - 2 x + 4$ .若 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{6}$ 的平均数为1，则 $y_{1} + y_{2} + y_{3} + \dots + y_{6} =$ （）

A、10 B、11 C、12 D、13

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5. 下列表述正确的是（）
①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；

A、②④ B、①③ C、①④ D、①②

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6. 已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a \cos B + b \cos A = - \sqrt{2} c \cos A$ ，则 $A$ 等于（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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7. $\int_{- 1}^{1} | x | d x =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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8. 为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加 $A 、 B 、 C$ 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（）

A、24 B、36 C、48 D、64

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9. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， 1 ， 0)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 1 ， 0 ， 2)$ ，且 $k \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}$ 与 $2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}$ 互相垂直，则k的值是（）

A、-1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{7}{5}$

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10. 已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $2 x + y = x y$ ，则 $4 x + 2 y$ 的最小值为（）

A、8 B、12 C、16 D、20

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11. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过右焦点 $F_{2}$ 的直线 $l$ ，交 $C$ 的左、右两支于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $B$ 为线段 $A F_{2}$ 的中点且 $B F_{1} ⊥ l$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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12. 已知 $a = {(1 + \frac{1}{e})}^{e}$ ， $b = {(1 + \frac{1}{π})}^{π}$ ， $c = 4^{\frac{1}{3}}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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二、填空题

13. 若实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x - y \leq 0 ， \\ 2 x - y \geq 0 ， \\ x + y - 2 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最大值为．

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14. ${(2 x - \frac{1}{8 x^{3}})}^{8}$ 展开式中的常数项为.

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15. 设随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = k) = m {(\frac{2}{3})}^{k}$ ， $k = 1, 2, 3$ ，则 $m$ 的值为

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16. 集合 ${a, b, c} = {1, 2, 3}$ ，现有甲、乙、丙三人分别对 $a$ ， $b$ ， $c$ 的值给出了预测，甲说 $a \neq 3$ ，乙说 $b = 3$ ，丙说 $c \neq 1$ .已知三人中有且只有一个人预测正确，那么 $a + 10 b + 100 c =$ .

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三、解答题

17. 等比数列{ $a_{n}$ }的前n 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{1}$ , $S_{3}$ , $S_{2}$ 成等差数列

(1)、求{ $a_{n}$ }的公比q；

(2)、已知 $a_{1}$ － $a_{3}$ ＝3，求 $S_{n}$

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18. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = \frac{2 π}{3}$ ， $a = 6$ .

(1)、若 $c = 14$ ，求 $\sin A$ 的值；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，求c的值.

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19. 金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：

愿意

不愿意

男生

60

20

女士

40

40

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.05

0.01

0.001

$k_{0}$

3.841

6.635

10.828

(1)、根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；

(2)、现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为 $X$ ，写出 $X$ 的分布列，并求 $E (X)$ ．

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20. 如图：在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A = A B = 2$ ， $P B = P D = 2 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 在 $P D$ 上，且 $P E = \frac{1}{3} P D$ .

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $E - A C - D$ 的余弦值；

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右焦点F到右准线的距离为3．（椭圆的右准线方程为 $x = \frac{a^{2}}{c}$ ）

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设过F的直线l与椭圆C相交于 $P ， Q$ 两点．已知l被圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 截得的弦长为 $\sqrt{14}$ ，求 $△ O P Q$ 的面积．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 x$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a ， x \in [- 1 ， 1]$ 恰有 $2$ 个零点，求实数 $a$ 的取值范围

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	愿意	不愿意
男生	60	20
女士	40	40

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.05	0.01	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828