江西省新余市2019-2020学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{1}{1 + i} + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、2

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2. “ $k > 3$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{k - 3} - \frac{y^{2}}{k + 3} = 1$ 表示双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于 $60 °$ ”时，应假设（）

A、三角形的三个内角都不大于 $60 °$ B、三角形的三个内角都大于 $60 °$ C、三角形的三个内角至多有一个大于 $60 °$ D、三角形的三个内角至少有两个大于 $60 °$

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4. 抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (6 ， y_{0})$ 是 $C$ 上一点， $| A F | = 2 p$ ，则 $p =$ （）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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5. 由 $y = \sqrt{x (2 - x)}$ 与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积是（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $2 π$

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6. 函数y= $\frac{x^{2} \ln | x |}{| x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 $\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \cdot \cdot \cdot}}}$ 中“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程 $\sqrt{2 + x} = x$ 确定出来 $x = 2$ ，类似地不难得到 $2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \cdot \cdot \cdot}} =$ （）

A、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{1 - \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $- \sqrt{2} + 1$

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8. 已知函数 $f_{0} (x) = \sin x + \cos x$ ， $f_{1} (x) = f_{0}^{'} (x)$ ， $f_{2} (x) = f_{1}^{'} (x)$ ，…， $f_{n + 1} (x) = f_{n}^{'} (x)$ ， $n \in N$ ，那么 $f_{2020} (x) =$ （）

A、 $\cos x - \sin x$ B、 $\sin x - \cos x$ C、 $\sin x + \cos x$ D、 $- \sin x - \cos x$

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9. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 1$ ，且 $f' (x) > \frac{1}{2}$ 恒成立，则不等式 $f (x^{2}) < \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 1)$

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10. 直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠BCA＝90°，M ， N分别是A₁B₁ ， A₁C₁的中点，BC＝CA＝CC₁ ，则BM与AN所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过点F₂的直线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，F₁都在以M为圆心的圆上，且 $\vec{P Q} \cdot \vec{M F_{1}} = 0$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{3}$

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12. 若对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [- 2 ， 0)$ ， $x_{1} < x_{2}$ ， $\frac{x_{2} e^{x_{1}} - x_{1} e^{x_{2}}}{x_{1} - x_{2}} < a$ 恒成立，则a的最小值为（）

A、 $- \frac{3}{e^{2}}$ B、 $- \frac{2}{e^{2}}$ C、 $- \frac{1}{e^{2}}$ D、 $- \frac{1}{e}$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = x^{3} + a x$ （ $x \in R$ ）在 $x = 1$ 处有极值，则曲线 $y = f (x)$ 在原点处的切线方程是．

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14. 已知直线l与平面 $α$ 垂直，直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{u} = (1 ， 3 ， z)$ ，向量 $\vec{v} = (3 ， - 2 ， 1)$ 与平面 $α$ 平行，则 $z =$ .

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15. 已知 $f' (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数，定义 $f'' (x)$ 为 $f' (x)$ 的导函数，若方程 $f'' (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的拐点，经研究发现，所有的三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设 $g (x) = x^{3} - a x^{2} + b x - 5$ ，若点 $(1 ， - 3)$ 是函数 $y = g (x)$ 的“拐点”也是函数 $g (x)$ 图像上的点，则 $\int_{a}^{b} (\sqrt{1 - {(x - 3)}^{2}} + e^{x - 3}) d x =$ .

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16. 如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为．

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三、解答题

17. 已知实数 $m > 0$ ，p： $(x + 2) (x - 3) \leq 0$ ，q： $- 2 m \leq x \leq 2 + m$

(1)、若 $\neg q$ 是 $\neg p$ 的必要不充分条件，求实数m的取值范围；

(2)、若 $m = 2$ ， $\neg p \land q$ 为真命题，求实数x的取值范围．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} = \frac{2}{n^{2} + n}$ ．

(1)、试求出 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，并猜想 $S_{n}$ 的表达式．

(2)、用数学归纳法证明你的猜想．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ .

（Ⅰ）求证： $P D ⊥$ 平面 $P A B$ ；

（Ⅱ）求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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20. 把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为 $x$ ，容积为 $V (x)$ ．

(1)、写出函数 $V (x)$ 的解析式，并求出函数的定义域；

(2)、求当x为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.

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21. 如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，A为椭圆E上位于第一象限上的点， $B$ 为椭圆E的上顶点，直线 $A B$ 与x轴相交于点C， $| A B | = | A O |$ ， $△ B O C$ 的面积为6．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）设直线l过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于M、N两点（M、N在直线 $O A$ 的同侧），若 $∠ C A M = ∠ O A N$ ，求直线l的方程.

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22. 已知 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{2} (a - 1) x^{2} + 1$ （ $a \in R$ ）.

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = - 1$ 时，对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $| \frac{x_{1} f (x_{2}) - x_{2} f (x_{1})}{x_{1} - x_{2}} | > m x_{1} x_{2}$ ，求实数m的取值范围.

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