黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高二下学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{2 i}{1 + i} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $- 1 + i$

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2. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且e为自然对数的底数，则 $f^{'} (e)$ ＝（）

A、2 B、1 C、0 D、e

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3. 有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 $f (x)$ ，如果 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，那么 $x = x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点．因为函数 $f (x) = x^{3}$ 在 $x = 0$ 处的导数值 $f^{'} (0) = 0$ ，所以 $x = 0$ 是函数 $f (x) = x^{3}$ 的极值点．以上推理中（）

A、小前提错误 B、大前提错误 C、推理形式错误 D、结论正确

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4. ${(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 展开式的第5项的系数为（）

A、15 B、﹣60 C、60 D、﹣15

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5. 下列说法错误的是（）

A、在回归分析中，回归直线始终过样本点（ x₁ ， y₁），（ x₂ ， y₂ ），…，（ x_n ， y_n）的中心（ $\bar{x}, \bar{y}$ ） B、若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于0 C、在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 D、在线性回归模型中，相关指数R²越接近于1，说明回归的效果越好

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6. 公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（）

A、153 B、190 C、231 D、276

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7. 函数 $y = \frac{1}{x - ln (x + 1)}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 曲线y＝x²与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{9}$

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9. 2020年6月23日，我国第55颗北斗导航卫星发射成功.为提升卫星健康运转的管理水平，西安卫星测控中心组织青年科技人员进行卫星监测技能竞赛，成绩分为“优秀”、“良好”、“待提高”三个等级.现有甲、乙、丙、丁四人参赛，已知这四人获得“优秀”的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{4}$ 、 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{2}{3}$ ，且四人是否获得“优秀”相互独立，则至少有 $1$ 人获得“优秀”的概率为（）

A、 $\frac{23}{24}$ B、 $\frac{1}{18}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{2}{9}$

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10. 已知 $a = \frac{3}{\ln 3} ， b = \frac{π}{\ln π}$ ，c＝e（e为自然对数的底数），则a、b、c的大小关系是（）

A、a＞b＞c B、c＞a＞b C、c＞b＞a D、b＞a＞c

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11. 2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线，为了保证中国登山队珠峰高程测量的顺利直播，现从海拔5300米、5800米和6500米的三个大本营中抽出了4名技术人员，派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测，每个路段至少安排1名技术人员，则不同的安排方法共有（）

A、72 B、36 C、48 D、54

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12. 若不等式e^x﹣ax²﹣ $\frac{3}{2}$ ax＞0对于任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、（ $- \frac{2}{e}$ ，0] B、[0， $\frac{2}{9} e^{\frac{3}{2}}$ ） C、（0， $\frac{1}{e}$ ） D、（﹣∞， $\frac{2}{9} e^{\frac{3}{2}}$ ）

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二、填空题

13. 已知 ${(k x - 1)}^{5} = a_{5} x^{5} + a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 244$ ，则实数 $k$ 的值为.

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14. 某种疾病的患病率为0.50，患该种疾病且血检呈阳性的概率为0.49，则已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为.

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15. 某学校贯彻“科学防疫”，实行“佩戴口罩，间隔而坐” .一排8个座位，安排4名同学就坐，共有种不同的安排方法.(用数字作答)

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三、双空题

16. 已知函数 $f (x) = (e^{x - 1} + x) (x - a e^{x - 1}) - e^{2 (x - 1)}$ ^），若 $a = - 1$ ，则函数 $f (x)$ 有个零点；若函数 $f (x)$ 有 $3$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 为了做好中央提出的“六稳”工作，落实“六保”任务，努力实现全年经济社会发展目标，某省采取了“云”上谈生意助力经济加速发展的稳外贸措施，通过电商平台，为外贸企业“在线洽谈、直播营销”提供服务和支持.已知该省某电商平台为某外贸工厂的产品开设直播带货专场，为了对该产品进行合理定价，用不同的单价在平台试销，得到如表数据：

单价x（元/件）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（万件）	90	84	83	80	75	68

参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ , $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {(\bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ , $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

(1)、根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；

(2)、现已知该产品成本是4元/件，假设该产品全部卖出，请预测把单价定为多少时，此外贸工厂可获得的利润最大？

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18. 2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11∶13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.

参考公式：附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (c + d) (b + d)}$

$P (K^{2} > k)$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k$	2.072	0.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10828

(1)、完成

2 \times 2

列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

	满意	不满意	总计
男生
女生
合计			120

(2)、从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为

ξ

，求出

ξ

的分布列及期望值.

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19. 已知 $f (x) = a \ln x + 2 x^{2}$ （ $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = - 4$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、令 $g (x) = \frac{f (x) - 2 x^{2} + 1}{x}$ ，若 $g (x)$ 在区间 $[e^{2}, e^{4}]$ 上单调递减，求实数a的取值范围.

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20. 2020年4月，受新型冠状病毒疫情的影响，某校初三年级500名学生参加了市里组织的线上联考，这500名学生的数学成绩（满分120分）的频率分布直方图如图所示（用样本的频率作为概率）.

(1)、由频率分布直方图，可以认为学生成绩z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ，σ²分别取考生的平均成绩 $\bar{x}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）和考生成绩的方差S² ，请估计该校500名学生的成绩不低于99.31分的人数（结果四舍五入取整数）.

(2)、现从该市参加线上联考的学生中随机抽取20名，设其中有k名学生的数学成绩在[100，120]内的概率为P（X＝k）（k＝0，1，2，…20），则当P（X＝k）最大时，求k的值.
附：①s²＝28.2， $\sqrt{28.2} \approx 5.31$ ；②若z～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜z＜μ+3σ）≈0.9973.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x + x + \frac{a}{x} (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $y = a^{2} x + 1$ 平行，求a的值；

(2)、若函数 $g (x) = x f (x) - (a + 1) x^{2} - x$ 有两个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{2} > x_{1} > 0$ ，求证： $\frac{x_{1}}{e} > {(\frac{e}{x_{2}})}^{2} (e$ 为自然对数的底数）.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sin θ$ ．

(1)、写出直线 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、设动直线 $l : y = k x (k > 0)$ 与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 分别交于点M、N，求 $\frac{| O N |}{| O M |}$ 的最大值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 2 | - | x + 1 |$ 的最小值为 $m$ ．

(1)、求m的值；

(2)、若 $a + b + c + m = 0$ ，证明： $a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 b + 4 c + 2 ⩾ 0$ ．

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