陕西省渭南市大荔县2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8}$ ， $A = {1，2，3}$ ， $B =$ ${4 ， 5 ， 6}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B)$ 等于（）

A、 ${1，2，3}$ B、 ${4 ， 5 ， 6}$ C、 ${1，2，3，4，5，6}$ D、 ${7，8}$

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2. 下列说法正确的是（）

A、第二象限角大于第一象限角 B、不相等的角终边可以相同 C、若 $α$ 是第二象限角， $2 α$ 一定是第四象限角 D、终边在 $x$ 轴正半轴上的角是零角

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3. 王明同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况如下表所示：

小区绿化率（%）

20

25

30

32

小区个数

2

4

3

1

则关于这10个小区绿化率情况，下列说法错误的是（）

A、方差是13% B、众数是25% C、中位数是25% D、平均数是26.2%

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4. 执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5. 设 $a = {(\frac{1}{3})}^{0.2}$ ， $b = \log_{2} 5$ ， $c = \ln 5$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $b > c > a$ D、 $a > c > b$

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6. 为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（　　）

A、12 B、9 C、8 D、6

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7. 已知直线 $m ， n$ 和平面 $α ， β ， γ$ ，有如下四个命题：①若 $m ⊥ α ， m // β$ ，则 $α ⊥ β$ ；②若 $m ⊥ α ， m // n ， n \subset β$ ，则 $α ⊥ β$ ；③若 $n ⊥ α ， n ⊥ β ， m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ ；④若 $m ⊥ α ， m ⊥ n$ ，则 $n // α$ .其中真命题的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} = (1 ， - 5)$ ， $\overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b} = (- 2 ， 1)$ ，则 $\overset{⇀}{b} =$ （）

A、（1，2） B、（1，-2） C、（-1，2） D、（-1，-2）

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9. 若 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小值为-2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为 $2 π$ ，且图像过点（0，1），则其解析式是（）

A、 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$ C、 $y = 2 \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ D、 $y = 2 \sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$

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10. 已知直线 $l$ 经过A(2，1)，B(1，m²)两点(m∈R)，那么直线l的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[0 ， π)$ B、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup (\frac{π}{2} ， π)$ C、 $[0 ， \frac{π}{4}]$ D、 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2} ， π)$

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11. 若 $a \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $3 cos 2 α = \sqrt{2} sin (\frac{π}{4} - α)$ ，则 $sin 2 α$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $- \frac{1}{18}$ C、 $- \frac{8}{9}$ D、 $- \frac{17}{18}$

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12. 已知 $M N$ 是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， 4]$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $[1 ， 4]$ D、 $[1 ， 2]$

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二、填空题

13. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 $2400$ 人、高二 $2000$ 人、高三 $n$ 人中，抽取 $90$ 人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为 $36$ ，那么高三被抽取的人数为．

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14. 已知一扇形的圆心角为1弧度，半径为1，则该扇形的面积为.

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15. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 $\frac{1}{2}$ ，乙获胜的概率是 $\frac{1}{3}$ ，则甲获胜的概率是

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16. 设D为 $△ A B C$ 所在平面内的一点，若 $\vec{A D} = 3 \vec{B D}$ ， $\vec{C D} = λ \vec{C A} + μ \vec{C B}$ ，则 $\frac{λ}{μ} =$ .

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三、解答题

17. 计算下列各式的值：
（I） $4^{- \frac{3}{2}} + {(\sqrt[3]{8^{- 1}})}^{2} + {(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{0}$ ；

（Ⅱ）log₃27+lg25+1g4+log₄2．

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18. 若角 $α$ 的终边上有一点 $P (m ， - 8)$ ，且 $\cos α = - \frac{3}{5}$ .

(1)、求m的值；

(2)、求 $\frac{\sin (π + α) \cos (\frac{π}{2} + α)}{\tan (- α - π) \cos (- α)}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{a} + \frac{a}{2^{x}} - 1 (a > 0)$ 是R上的偶函数.

(1)、求a的值；

(2)、解方程 $f (x) = \frac{13}{4}$ .

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20. 为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共12道题），从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成 $[0 ， 2)$ ， $[2 ， 4)$ ， $[4 ， 6)$ ， $[6 ， 8)$ ， $[8 ， 10)$ ， $[10 ， 12]$ 六组，得到如下频率分布直方图.

(1)、若答对一题得10分，未答对不得分，估计这40人的成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、若从答对题数在 $[2 ， 6)$ 内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在 $[2 ， 4)$ 内的概率.

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21. 如图，已知三棱锥 $P - A B C$ 的平面展开图中，四边形 $A B C D$ 为边长等于2的正方形， $△ A B E$ 和 $△ B C F$ 均为等边三角形．

（Ⅰ）求证： $A C ⊥ P B$ ；

（Ⅱ）求三棱锥 $P - A B C$ 的体积．

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22. 已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a ， b)$ 为函数 $f (x)$ 的伴随向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的伴随函数.

(1)、设函数 $g (x) = \sqrt{3} \sin (π + x) - \sin (\frac{3 π}{2} - x)$ ，试求 $g (x)$ 的伴随向量 $\vec{O M}$ ；

(2)、记向量 $\vec{O N} = (1 ， \sqrt{3})$ 的伴随函数为 $f (x)$ ，求当 $f (x) = \frac{8}{5}$ 且 $x \in (- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ 时 $\sin x$ 的值；

(3)、由（1）中函数 $g (x)$ 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位长度得到 $h (x)$ 的图象，已知 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (2 ， 6)$ ，问在 $y = h (x)$ 的图象上是否存在一点P ，使得 $\vec{A P} ⊥ \vec{B P}$ .若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

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小区绿化率（%）	20	25	30	32
小区个数	2	4	3	1