辽宁省沈阳市重点联合体2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设i为虚数单位，复数z满足 $z i = 2 - i$ ，则 $\bar{z}$ =（）

A、-1+2i B、-1-2i C、1-2i D、1+2i

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2. 若 $\cos (α + β) = \frac{3}{5}, \sin (β - \frac{π}{4}) = \frac{5}{13}, α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\cos (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{33}{65}$ B、 $\frac{33}{65}$ C、 $\frac{56}{65}$ D、 $- \frac{16}{65}$

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3. 一个圆锥的母线长为l，母线与轴的夹角为 $30 °$ ，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $π$

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4. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ 其中 $(A > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，为了得到 $f (x)$ 图象，则只需将 $g (x) = \sin 2 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个长度单位 B、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个长度单位 C、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位 D、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个长度单位

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5. 正四面体的棱长为4，则它的外接球的表面积为（）

A、12π B、24π C、48π D、96π

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6. 在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $B C = 2 A D = 4$ ， $C D = \sqrt{2}$ .将等腰梯形 $A B C D$ 绕 $A D$ 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $\frac{10 π}{3}$ D、 $4 π$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $A = 60 °$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，为使此三角形有两个，则a满足的条件是（）

A、 $\sqrt{3} < a < 3$ B、 $\sqrt{3} < a < 2 \sqrt{3}$ C、 $3 < a < 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} < a < 4 \sqrt{3}$

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8. 已知 $\sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{2}{3}$ ，则 $\sin (2 α - \frac{5 π}{6}) =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{5}}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- \frac{1}{9}$

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二、多选题

9. 下面关于 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 叙述中正确的是（）

A、关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 B、关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、在区间 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上单调 D、函数 $f (x)$ 的零点为 $\frac{π}{6} + k π (k \in Z)$

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10. 设m、n是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，下列命题中真命题的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ， $m ⊥ n$ 则 $α / / β$ ； B、若 $m ⊥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m / / α$ ； C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，则 $m ⊥ n$ ； D、若 $m / / n$ ， $n ⊥ β$ ， $m \subset α$ 则 $a ⊥ β$ .

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11. 正三棱锥底面边长为3，侧棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，则下列叙述正确的是（）

A、正三棱锥高为3. B、正三棱锥的斜高为 $\frac{\sqrt{39}}{2}$ C、正三棱锥的体积为 $\frac{27 \sqrt{3}}{4}$ D、正三棱锥侧面积为 $\frac{3 \sqrt{39}}{4}$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin x | \cos x |$ ， $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{3 π}{4} ， \frac{5 π}{4}]$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 轴对称 D、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$

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三、填空题

13. 函数 $y =$ $tan (2 x - \frac{π}{4})$ 的对称中心为。

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14. 已知复数z满足等式 $| z - i | = 1$ ，则 $| z - 1 |$ 的最大值为.

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15. 使不等式 $\sqrt{2}$ －2sinx≥0成立的x的取值集合是.

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16. 设函数 $f (x)$ 为定义域为 $R$ 的奇函数，且 $f (x) = f (2 - x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = \sin x$ ，则函数 $g (x) = | \cos \frac{π x}{2} | - f (x)$ 在区间 $[- 5 ， 8]$ 上的所有零点的和为.

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四、解答题

17. 已知 $| \vec{m} | = 2, \vec{n} = (\cos θ, \sin θ)$ .

(1)、若 $(2 \vec{m} - 3 \vec{n}) \cdot (2 \vec{m} + \vec{n}) = 9$ ，求向量 $\vec{m}$ 在向量 $\vec{n}$ 方向的投影的数量.

(2)、若 $θ = - \frac{π}{6}$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，求向量 $\vec{m}$ 的坐标.

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18. 已知角 $α$ 终边上一点坐标 $(1, - 3)$ ， $f (α) = \frac{\cos (\frac{3 π}{2} - α) \sin (- π - α)}{\cos (\frac{5 π}{2} + α) \sin (\frac{π}{2} + α)}$ .

(1)、求 $f (α)$ 的值；

(2)、求 $f (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(3)、求 $\sin (α + \frac{π}{4}) \cos (α + \frac{π}{4})$ 的值.

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19. 如图在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，E为CD的中点，F为PD上一点.

(1)、求证：BD⊥平面PAC；

(2)、求证：平面PAB⊥平面FAE；

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20. 如图已知四棱锥A-BCC₁B₁底面为矩形，侧面ABC为等边三角形，且矩形BCC₁B₁与三角形ABC所在的平面互相垂直，BC=4，BB₁=2，D为AC的中点.

(1)、求证： $A B_{1} / /$ 平面 $D B C_{1}$ ；

(2)、求点D到平面ABC₁的距离.

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21. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为 $\frac{a^{2}}{3 s i n A}$ ．

(1)、求sinBsinC；

(2)、若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

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22. 已知向量 $\vec{m} = (\sin x - \sqrt{3} \cos x ， 1) ， \vec{n} = (2 \sin x ， 4 \cos^{2} x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、若 $x \in [- \frac{π}{2} ， π]$ ，求函数 $f (x)$ 的减区间；

(2)、若 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，方程 $f (x) = a$ 有唯一解，求 $a$ 的取值范围.

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