江西省萍乡市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $(2 + x) (1 - x) \geq 0$ 的解集为（）

A、 $[- 2, 1]$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $(- \infty, - 2] \cup [1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1] \cup [2, + \infty)$

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2. 为了推进课堂改革，提高课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革.学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查．先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性（）

A、都相等，且为 $\frac{1}{18}$ B、不全相等 C、都相等，且为 $\frac{50}{923}$ D、都不相等

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{3} \cdot a_{5} = 18, a_{4} \cdot a_{8} = 72$ ，则公比q为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\pm 2$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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4. 在这个热“晴”似火的 $7$ 月，多地持续高温，某市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是 $\frac{1}{2}$ .某人用计算机生成了20组随机数，结果如下，若用 $0, 1, 2, 3, 4$ 表示高温橙色预警，用 $5, 6, 7, 8, 9$ 表示非高温橙色预警，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）
$116 \begin{matrix} \end{matrix} 785 \begin{matrix} \end{matrix} 812 \begin{matrix} \end{matrix} 730 \begin{matrix} \end{matrix} 134$ $\begin{matrix} \end{matrix} 452 \begin{matrix} \end{matrix} 125 \begin{matrix} \end{matrix} 689 \begin{matrix} \end{matrix} 024 \begin{matrix} \end{matrix} 169$

$334 \begin{matrix} \end{matrix} 217 \begin{matrix} \end{matrix} 109 \begin{matrix} \end{matrix} 361 \begin{matrix} \end{matrix} 908$ $\begin{matrix} \end{matrix} 284 \begin{matrix} \end{matrix} 044 \begin{matrix} \end{matrix} 147 \begin{matrix} \end{matrix} 318 \begin{matrix} \end{matrix} 027$

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{13}{20}$ D、 $\frac{11}{20}$

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5. 若 $a > b > 0, c \leq 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a c \geq b c$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $\frac{a + c}{b + c} > 1$ D、 $\frac{a - c}{b - c} > 1$

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6. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a, b, c$ 成等差数列， $\sin A, \sin B, \sin C$ 成等比数列，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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7. 俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖.萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生.迷信使然，建塔以辟邪镇邪.坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”.此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建.某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶B的仰角为 $60 °$ ，在塔底C处测得A处的俯角为 $45 °$ .已知山岭高 $C D$ 为36米，则塔高 $B C$ 为（）

A、 $36 \sqrt{2} - 36$ 米 B、 $36 \sqrt{3} - 36$ 米 C、 $36 \sqrt{6} - 36$ 米 D、 $72 \sqrt{3} - 36$ 米

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8. 某地甲乙两家保险公司分别对公司的员工进行了保险基础知识测试，现从两家公司的员工中各随机选取 $10$ 人的测试成绩用茎叶图表示.如图，则下列说法错误的是（）

A、甲保险公司员工的测试成绩的众数高于乙保险公司员工的测试成绩的众数 B、甲保险公司员工的测试成绩的极差低于乙保险公司员工的测试成绩的极差 C、甲保险公司员工的测试成绩的平均分高于乙保险公司员工的测试成绩的平均分 D、甲保险公司员工的测试成绩的方差高于乙保险公司员工的测试成绩的方差

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9. 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是 $($ $)$

A、336 B、510 C、1326 D、3603

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10. 在区间 $[- 2, 2]$ 上随机取一个数x，则事件“ $y = {\begin{matrix} 2^{x} \begin{matrix} (x \leq 0) \end{matrix} \\ x + 1 \begin{matrix} (x > 0) \end{matrix} \end{matrix}$ 且 $y \in [\frac{1}{2}, 2]$ ”发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{5}{8}$ D、 $\frac{7}{8}$

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11. 执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）

A、-3 B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$ 其前n项和 $S_{n}$ ，数列 ${a_{n}^{2}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ，若 $S_{n}^{2} - λ {(- 1)}^{n} T_{n} > 0$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $λ$ 取值范围是（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $(3, \frac{9}{5})$ D、 $(- 1, \frac{9}{5})$

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二、填空题

13. 某印刷厂的工人师傅为了了解96个印张的质量，采用系统抽样的方法抽取若干个印张进行检查，为此先对96个印章进行编号为： $01, 02, 03, \dots, 96$ ，已知抽取的印张中最小的两个编号为 $07, 15$ ，则抽取的印张中最大的编号为.

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14. 已知 ${\begin{array}{l} x \leq 1 ， \\ y \leq 1 ， \\ x + y \geq 1 ， \end{array}$ 当 $z = x + y$ 取到最小值时， $x y$ 的最大值为.

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15. $1 + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \dots + \frac{1}{1 + 2 + 3 + \dots + 100} =$ .

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16. 已知锐角 $△ A B C$ 的角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $c = 1$ ，三角形的面积 $S_{△ A B C} = 1$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 2020年2月份，根据新型冠状病毒的疫情情况，教育部下达了延迟开学的通知.由此使得全国中小学生停课，影响了教学进度，某高中按照“停课不停学”的原则，扎实开展停课不停学的工作，特制定了网上授课和微课自学相结合的学习方式进行教学，某学校随机调查了100名学生每天使用微课学习情况，进行抽样分析，并得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、估计这100名学生每天使用微课学习时间的中位数（结果保留一位小数)；

(2)、为了进一步了解学生的学习情况，按分层抽样的思想，从每天使用微课学习时间在 $[40 ， 60)$ 分钟的学生中抽出5人，再从5人中随机抽取2人，试求抽取的2人中恰有一人来自使用微课学习时间在 $[40 ， 50)$ 分钟的概率.

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18.

(1)、解不等式 $\frac{x^{2} - 4 x - 5}{x - 2} \geq 0$ ；

(2)、解关于x的不等式： $x^{2} - a x + a - 1 < 0 (a \in R)$ .

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19. 设△ $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a \cdot \sin A - b \cdot \sin B = a \cdot \sin C - c \cdot \sin C$ ，

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若△ $A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，其外接圆半径 $R = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $a + c$ 的值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n} a_{n + 1} = 1 - a_{n + 1}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n}}$ ，求 $S_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ .

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21. 为了了解某校高中生的身体质量情况，某调查机构进行了一次高一学生体重和身高的抽样调查，从中抽取了8名学生（编号为

1 \sim 8

）的身高

x (cm)

和体重

y (kg)

数据.如下表，某调查机构分析发现学生的身高和体重之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前，调查员甲已进行相关的数据分析并计算出该组数据的线性回归方程为

\hat{y} = \hat{a} + 0.5 x

，且根据回归方程预估一名身高为

180 cm

的学生体重为

71 kg

，计算得到的其他数据如下：

\bar{x} = 170 ， \sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 89920

学生的编号 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8
身高 $x (cm)$	164	176	165	163	170	172	168	182
体重 $y (kg)$	60	72	77	54	$*$	$*$	72	55

附：回归直线方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、求

\hat{a}

的值及表格中8名学生体重的平均值

\bar{y}

；

(2)、在数据处理时，调查员乙发现编号为8的学生体重数据有误，应为

63 kg

，身高数据无误.请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为

180 cm

的学生的体重.

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22. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过10件的顾客占40%%.

一次购物量	1至5件	6至10件	11至15件	16至20件	21件及以上
顾客数(人)	x	30	25	y	5
结算时间(分钟/人)	1	2	3	4	5

(1)、确定

x, y

的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；

(2)、求一位顾客一次购物的结算时间不超过3分钟的概率.(将频率视为概率)

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