江西省南昌市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-21 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某中学共有360名教师，其中一线教师280名，行政人员55人，后勤人员25人，采取分层抽样，拟抽取一个容量为72的样本，则一线教师应该抽取（）人．

A、56 B、28 C、11 D、5

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 16 < 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x + 3 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 3 < x < 4}$ B、 ${x | - 4 < x < 4}$ C、 ${x | 1 < x < 3}$ D、 ${x | - 4 < x < 1}$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{2} = 3$ ， $a_{5} = 15$ ，则 $a_{11} =$ （）

A、39 B、38 C、35 D、33

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4. 在 $△ A B C$ 中，已知 $a : b : c = 2 : 3 : 4$ ，则 $△ A B C$ 中最大角的余弦值等于（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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5. 为了解两个变量x，y的相关性，随机抽取一些数据，并制作了如表，得到的回归方程 $\hat{y} = 2 x + \hat{a}$ ，则 $\hat{a}$ 的值为（）

x

1

2

3

4

5

y

0.4

2.6

4.5

6.4

8.6

A、2 B、1.5 C、-2 D、-1.5

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6. 甲、乙两名同学在10次数学测试成绩如茎叶统计图，若甲、乙两人的平均成绩分别为 $x$ _甲， $x$ _乙，请观察茎叶图，下列说法正确的是（）

A、 $x$ _甲 $< x$ _乙，甲比乙成绩稳定 B、 $x$ _甲 $< x$ _乙，乙比甲成绩稳定 C、 $x$ _甲 $> x$ _乙，甲比乙成绩稳定 D、 $x$ _甲 $> x$ _乙，乙比甲成绩稳定

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7. 设 $a > \frac{1}{b} > 0$ ，则下列结论中一定正确的是（）

A、 $a b > 2$ B、 $a + b > 2$ C、 $a > 1$ 且 $b > 1$ D、 $\ln a b > 1$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $a = 2$ ， $b = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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9. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{n} > 0$ ，且 $a_{m} a_{m}_{+ 1} a_{m}_{+ 2} = 2^{6 m}$ ，若 $p + q = 6$ ，则 $a_{p} \cdot a_{q} =$ （）

A、 $2^{7}$ B、 $2^{8}$ C、 $2^{9}$ D、 $2^{10}$

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10. 已知a， $b > 0$ ，且满足 $a^{2} + a b = 1$ ，则 $3 a + b$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ ，且 $a_{n}$ ， $a_{n}_{+ 1}$ 是直角三角形中的两个锐角，则数列 ${a_{n}}$ 的 $2 n$ 项和 $S_{2 n} =$ （）

A、 $\frac{n π}{2}$ B、 $(n + 1) π$ C、 $n π$ D、 $\frac{(n + 1) π}{2}$

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12. 在高分辨率遥感影像上，阴影表现为低亮度值，其分布范围反映了地物成像时遮光情况的二维信息，可以通过线段 $A B$ 长度（如图：粗线条部分）与建筑物高度的几何关系来确定地表建筑物的高度数据．在不考虑太阳方位角对建筑物阴影影响的情况下，太阳高度角、卫星高度角与建筑物高度、线段 $A B$ 的关系如图所示，在某时刻测得太阳高度角为 $β$ ，卫星高度角为 $α$ ，阴影部分长度为L，由此可计算建筑物得高度为（）

A、 $\frac{L (\tan α - \tan β)}{\tan α \cdot \tan β}$ B、 $\frac{L \tan α \tan β}{\tan α - \tan β}$ C、 $\frac{L \tan α \tan β}{\tan (α - β)}$ D、 $\frac{L \tan (α - β)}{\tan α \tan β}$

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二、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ ， $a_{3} = 8$ ， $a_{5} = 16$ ，则 $a_{9} =$ ．

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14. 对任意实数x，不等式 $x^{2} + 2 (1 + k) x + 3 + k > 0$ 恒成立，则k的取值范围是．

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15. 下列两个变量之间具有相关关系的是．
①正方形的边长a和面积S；

②一个人的身高h和右手一拃长x；

③真空中的自由落体运动其下落的距离h和下落的时间t；

④一个人的身高h和体重x．

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16. 数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{8}$ 的均值为 $\frac{5}{2}$ ，方差为2，现增加一个数据 $x_{9}$ 后方差不变，则 $x_{9}$ 的可能取值为．

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三、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{5} = 30$ ， $a_{1} = 2$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $B C$ 边的中线为 $A D$ ， $A B = 4$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $S_{△ A B D} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ．
（Ⅰ）求 $B C$ ；

（Ⅱ）求 $\sin ∠ B A C$ 的值．

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19. 某工厂现有甲、乙两条生产线生产同一种产品，现在需要对这两条生产线生产出来的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间 $[80 ， 100]$ 的为优等品；指标在区间 $[60 ， 80)$ 的为合格品，现分别从这两条生产线生产出来的产品，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频率分布直方图分别如图：

（Ⅰ）求甲生产线生产出产品指标的平均数和中位数（视每组的中点为该组平均指标）；

（Ⅱ）从这两条生产线生产出来的产品，甲乙两条生产线生产出来的优等品每件可获利润分别为40元和35元；生产出来的合格品每件可获利润分别为10元和5元，用样本估计总体比较在甲、乙两条生产线生产出来的产品获得的利润更多（两生产线生产出来的产品数量相同）？

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20. 已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（ $m$ ）与速度（ $km / h$ ）的平方和汽车总质量积成正比关系，设某辆卡车不装货物以 $60km / h$ 的速度行驶时，从刹车到停车走了 $20m$ ．
（Ⅰ）当汽车不装货物以 $36km / h$ 的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？．

（Ⅱ）如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面 $20m$ 处有障碍物，这时为了能在离障碍物 $5m$ 以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过 $1s$ ．参考数据： $\sqrt{241} \approx 15.52$ ．）

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{1} + a_{3} = 2$ ， $a_{2} \cdot a_{5} = 7$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} = 2^{n}^{+ 1} + n - 2$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）现剔除数列 ${a_{n}}$ 中与数列 ${b_{n}}$ 相同项，按照原顺序组成一个新的数列 ${c_{n}}$ ，其前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{34}$ ．

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22. 已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足 $(\sqrt{3} + \frac{\cos A}{\sin A}) \sin B = \frac{2 b}{a}$ ．
（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）当 $b = \sqrt{3}$ 时，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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x	1	2	3	4	5
y	0.4	2.6	4.5	6.4	8.6