海南省临高二中2019-2020学年度高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 1, 0, 1}$ ， $N = {0, 1, 2}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${- 1, 0, 2}$ D、 ${0, 1}$

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2. $i (2 + 3 i) =$

A、 $3 - 2 i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $- 3 - 2 i$ D、 $- 3 + 2 i$

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3. $\sin (- 240 °) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 若非零向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 互为相反向量，则下列说法中错误是（）

A、 $\vec{a} // \vec{b}$ B、 $\vec{a} \neq \vec{b}$ C、 $| \vec{a} | \neq | \vec{b} |$ D、 $\vec{a} = - \vec{b}$

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5. 已知 $\tan α = 3$ ，则 $\frac{3 \sin α - \cos α}{5 \cos α - \sin α} =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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6. 设非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则（）

A、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、 $| \vec{a} | > | \vec{b} |$ C、 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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7. 已知 $\sin (\frac{π}{3} - x) = \frac{3}{5}$ ，则 $\cos (x + \frac{π}{6})$ 等于（）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8. 在 $Δ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 上一点，且 $B D = \frac{1}{3} B C$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

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二、多选题

9. 设复数z满足 $z = - 1 - 2 i$ ，i为虚数单位，则下列命题正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{5}$ B、复数z在复平面内对应的点在第四象限 C、z的共轭复数为 $- 1 + 2 i$ D、复数z在复平面内对应的点在直线 $y = - 2 x$ 上

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10. 下列结论正确的是（）

A、 $- \frac{7 π}{6}$ 是第三象限角 B、若圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形的弧长为 $π$ ，则该扇形面积为 $\frac{3 π}{2}$ C、若角 $α$ 的终边过点 $P (- 3, 4)$ ，则 $\cos α = - \frac{3}{5}$ D、若角 $α$ 为锐角，则角 $2 α$ 为钝角

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11. 设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（）

A、 $\vec{0} \cdot \vec{a} = \vec{0}$ B、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = {| \vec{a} |}^{2} - {| \vec{b} |}^{2}$

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12. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ，$ 若 $A = \frac{π}{6} ， a = 2 ， c = 2 \sqrt{3}$ ，则角C的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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三、填空题

13. 复数 $\frac{1}{1 + i}$ 的实部为．

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14. 已知 $\overset{⇀}{a} = (2, 0)$ ， $\overset{⇀}{b} = (1, 2)$ ，实数 $λ$ 满足 $| \overset{⇀}{a} - λ \overset{⇀}{b} | = \sqrt{5}$ ，则 $λ =$ .

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15. 把函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到的函数是.

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16. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $| \overset{⇀}{A B} | = | \overset{⇀}{A C} | = 4$ ，且 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = 8$ ，则 $Δ A B C$ 的形状为．

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四、解答题

17. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, - 2), \overset{⇀}{b} = (2, 3)$ ．

(1)、若 $(3 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}) / / (\overset{⇀}{a} + k \overset{⇀}{b})$ ，求k的值；

(2)、若 $\overset{⇀}{a} ⊥ (m \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，求m的值.

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18. 已知 $α ， β$ 为锐角， $\sin α = \frac{4}{5}, \cos (α + β) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $\cos 2 α$ 的值；

(2)、求 $\sin β$ 的值．

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19. 某人在静水中游泳，速度为 $4 \sqrt{3}$ 千米/时，现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳.

(1)、若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？

(2)、他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

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20. 某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东 $75^{0}$ 的方向上，距离为 $12 \sqrt{6}$ 海里，在A处看灯塔C在货轮的北偏西 $30^{0}$ 的方向上，距离为 $8 \sqrt{3}$ 海里，货轮由A处向正北方向航行到D处时，再看灯塔B在南偏东 $45^{0}$ 的方向上，求

(1)、A、D间的距离；

(2)、C、D间的距离.

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21. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < π$ ）的一段图像如下图所示，

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

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22. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x$ ；

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及对称中心；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ ，求 $f (x)$ 的最大值和最小值.

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