北京市延庆区2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $\sin 25 ° \cos 35 ° +cos25 ° sin35 °$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 若 $\tan α = 3$ ， $\tan β = 2$ ，则 $\tan (β - α) =$ （）

A、 $- \frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、-1 D、1

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3. 与角 $\frac{19 π}{6}$ 终边相同的角为（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $- \frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1)$ ，满足 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、1 B、-1 C、4 D、-4

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5. 若角 $α$ 终边经过点 $(1, - 2)$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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6. 已知向量 $| \vec{a} | = 2 \sqrt{5}$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 的坐标可以为（）

A、 $(4, 2)$ B、 $(2, - 4)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(- 2, - 4)$

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7. 棱长为3的正方体的8个顶点均在同一个球面上，则此球的体积为（）

A、 $27 π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $27 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{27}{2} \sqrt{3} π$

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8. 非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 4, | \vec{a} | = 2$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $θ$ ，则“ $| \vec{b} - \vec{a} | = 2 \sqrt{3}$ ”是“ $θ = \frac{π}{3}$ ”的（）

A、必要而不充分条件 B、充分而不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 若函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， a]$ 上单调递增，则a的最大值为（）．

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{7 π}{12}$

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10. 已知一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为（）

A、 $\frac{4}{π}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2}{π}$

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二、填空题

11. 一个圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为 $30 °$ ，则圆锥底面半径为.

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12. 已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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13. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) ， (ω > 0)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的最小正周期为.

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14. 在△ $A B C$ 中，已知 $a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$ ，则 $△ A B C$ 的形状为.

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15. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列三个函数：
① $f_{1} (x) = \sin x + \cos x$ ；② $f_{2} (x) = \sin 2 x$ ；③ $f_{3} (x) = \sin x - \cos x$ .

其中，为“同形”函数的序号是.

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三、双空题

16. 如图，四面体 $A B C D$ 的一条棱长为x，其余棱长均为2，记四面体 $A B C D$ 的表面积为 $F (x)$ ，则函数 $F (x)$ 的定义域为；最大值为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = (2 + 2 \tan x) \cos^{2} x$

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域及最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间.

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B =6$ ， $A C =2 \sqrt{3}$ ， $B C =2 \sqrt{6}$ ，点D在边 $B C$ 上，且 $∠ A D C = 60^{\circ}$ .

(1)、求 $\cos B$ ；

(2)、求线段 $A D$ 的长.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 满足下列3个条件：
①函数 $f (x)$ 的周期为 $π$ ；② $x = \frac{π}{3}$ 是函数 $f (x)$ 的对称轴；③ $f (\frac{7 π}{12}) = 0$ .

(1)、请任选其中二个条件，并求出此时函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ ，求函数 $f (x)$ 的最值.

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20. 已知在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 13$ ， $c = 15$ .

(1)、求 $\sin C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是钝角三角形，求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 对于集合 $A = {a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n}}$ ， $B = {b_{1}, b_{2}, \cdot \cdot \cdot, b_{m}}$ ， $n \in N^{*}, m \in N^{*}$ . $A + B = {x + y | x \in A, y \in B}$ .集合 $A$ 中的元素个数记为 $| A |$ .规定：若集合A满足 $| A + A | = \frac{n (n + 1)}{2}$ ，则称集合A具有性质T.

(1)、已知集合 $A = {1, 3, 5, 7}$ ， $B = {\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{8}{3}}$ ，写出 $A + A, B + B$ ，并求出此时 $| A + A |$ ， $| B + B |$ 的值；

(2)、已知 $A, B$ 均有性质 $T$ ，且 $n = m$ ，求 $| A + B |$ 的最小值.

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