北京市通州区2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $2 + i$ 的共轭复数是（）

A、 $2 - i$ B、 $- 2 - i$ C、 $i - 2$ D、 $i + 2$

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2. 在下列各组向量中，互相垂直的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (2, 1)$ B、 $\overset{⇀}{e_{1}} = (0, 1)$ ， $\vec{e_{2}} = (1, - 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (\frac{1}{2}$ ， $- \frac{3}{4})$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $B = 60 °$ ， $b^{2} = a c$ ，则 $\cos A =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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4. 甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙，这三把钥匙混在了一起，他们每人从中无放回地任取一把，则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 将一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（）

A、4 B、40 C、250 D、400

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6. 若样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{10}$ 标准差为8，则数据 $2 x_{1} - 1$ ， $2 x_{2} - 1$ ， $\dots$ ， $2 x_{10} - 1$ 的标准差为（）

A、8 B、16 C、32 D、64

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7. 用6根火柴最多可以组成（）

A、2个等边三角形 B、3等边三角形 C、4个等边三角形 D、5个等边三角形

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8. 已知直线 $a \subset$ 平面 $α$ ，直线 $b \subset$ 平面 $α$ ，则“直线 $m ⊥ α$ ”是“ $m ⊥ a$ ，且 $m ⊥ b$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 关于两个互相垂直的平面，给出下面四个命题：
①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线；③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面；④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．

其中正确命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D$ 中，点E，F分别是棱 $C_{1} D_{1}$ ， $A_{1} D_{1}$ 上的动点．给出下面四个命题：

①若直线 $A F$ 与直线 $C E$ 共面，则直线 $A F$ 与直线 $C E$ 相交；②若直线 $A F$ 与直线 $C E$ 相交，则交点一定在直线 $D D_{1}$ 上；③若直线 $A F$ 与直线 $C E$ 相交，则直线 $D D_{1}$ 与平面 $A C E$ 所成角的正切值最大为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ；④直线 $A F$ 与直线 $C E$ 所成角的最大值是 $\frac{π}{3}$ ．

其中，所有正确命题的序号是（）

A、①④ B、②④ C、①②④ D、②③④

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二、填空题

11. 在空间中，若直线a与b无公共点，则直线 $a, b$ 的位置关系是；

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12. 棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是．

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13. 已知23名男生的平均身高是170.6cm，27名女生的平均身高是160.6cm，则这50名学生的平均身高为cm．

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14. 为了考察某校各班参加书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据由小到大依次为．

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三、双空题

15. 样本容量为10的一组样本数据依次为：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，该组数据的第50百分位数是，第75百分位数是．

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四、解答题

16. 已知 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $| \vec{b} | = 1$ ．

(1)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，求 $\vec{b}$ ；

(2)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，求 $\vec{a} + \vec{b}$ ．

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17. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 $a = 13$ ， $c = 15$ ．
（Ⅰ） $\sin C = \frac{1}{2}$ 能否成立？请说明理由；

（Ⅱ）若 $A = \frac{π}{3}$ ，求b．

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18. 某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照 $[0$ ， $20]$ ， $(20$ ， $40]$ ， $(40$ ， $60]$ ， $(60$ ， $80]$ ， $(80$ ， $100]$ 分组，绘成频率分布直方图（如图）．

（Ⅰ）求x的值；

（Ⅱ）分别求出抽取的20人中得分落在组 $[0 ， 20]$ 和 $(20 ， 40]$ 内的人数；

（Ⅲ）估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数．

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19. 某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动，为了了解学生的运动状况，采用样本按比例分配的分层随机抽样方法，从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试，如表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个

/

分钟）

学生编号	1	2	3	4	5
跳绳个数	179	181	170	177	183
踢毽个数	82	76	79	73	80

（Ⅰ）求高一、高二两个年级各有多少人？

（Ⅱ）从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的概率；

（Ⅲ）高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定？

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20. 如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为2的正方形，平面 $A D E$ ⊥平面 $A B C D$ ， $E F = 1 ， A E = D E = \sqrt{2}$ .

(Ⅰ) 求证： $C D ∥ 平面 A B F E$ ；

(Ⅱ) 求证：平面 $A B F E$ ⊥平面 $C D E F$ ；

(Ⅲ) 在线段 $C D$ 上是否存在点N，使得 $F N$ ⊥平面 $A B F E$ ？说明理由.

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21. 在边长为2的正方形 $A B C D$ 中，点E，F分别是 $A B$ ， $B C$ 上的动点，将 $△ A E D$ ， $△ D C F$ 分别沿 $D E$ ， $D F$ 折起，使A，C两点重合于点 $A_{1}$ ．

（Ⅰ）若点E，F分别是 $A B$ ， $B C$ 的中点（如图），

①求证： $A_{1} D ⊥ E F$ ；

②求三棱锥 $A_{1} - E D F$ 的体积；

（Ⅱ）设 $B E = x$ ， $B F = y$ ，当x，y满足什么关系时，A，C两点才能重合于点 $A_{1}$ ？

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