北京市大兴区2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $1 + i^{2} =$ （）

A、0 B、2 C、 $2 i$ D、 $1 - i$

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2. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} + \vec{A D}$ 等于（）

A、 $\vec{A C}$ B、 $\vec{C A}$ C、 $\vec{B D}$ D、 $\vec{D B}$

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3. 某中学高一年级有280人，高二年级有320人，高三年级有400人，为了解学校高中学生视力情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，则高一年级应抽取的人数为（）

A、14 B、16 C、28 D、40

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4. 若单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =（）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、1

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5. 若a和b是异面直线，a和c是平行直线，则b和c的位置关系是（）

A、平行 B、异面 C、异面或相交 D、相交、平行或异面

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6. 甲、乙、丙、丁四组人数分布如图所示，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为（）

A、150 B、250 C、300 D、400

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7. 已知复数 $z$ 满足 $(z - 1) i = 1 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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8. 若长方体所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别是3，2，1，则这个球面的面积为（）

A、9π B、12π C、14π D、18π

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9. 设 $\vec{a}, \vec{b}$ 为非零向量，则“ $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，点P在线段AC上运动，则| $\vec{P B}$ + $\vec{P C}$ |的取值范围是（）

A、[3，4] B、 $[\frac{12}{5} ， 6]$ C、[6，8] D、 $[\frac{24}{5} ， 8]$

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二、填空题

11. 设复数z＝1+i，则z的模|z|＝.

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12. 数据19，20，21，23，25，26，27，则这组数据的方差是.

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13. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，长分别为1，2，3，则这个三棱锥的体积为.

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14. 已知 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（2，y），| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |＝| $\vec{a}$ - $\vec{b}$ |，则y＝.

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三、双空题

15. 在 $△ A B C$ 中， $b = 10$ ， $A = \frac{π}{6}$ .
①若 $a = 5$ ，则角 $B$ 的大小为；

②若角 $B$ 有两个解，则 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

16. 已知复数 $z = (m^{2} - m) + (m + 3) i$ $(m \in R)$ 在复平面内对应点Z.

(1)、若 $m = 2$ ，求 $z \cdot \bar{z}$ ；

(2)、若点Z在直线 $y = x$ 上，求m的值.

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17. 已知三个点 $A (2, 1)$ ， $B (3, 2)$ ， $D (- 1, 4)$ .

(1)、求证： $A B ⊥ A D$ ；

(2)、若四边形 $A B C D$ 为矩形，求点C的坐标及矩形 $A B C D$ 两对角线所成锐角的余弦值.

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18. 为了解某小区 $7$ 月用电量情况，通过抽样，获得了 $100$ 户居民 $7$ 月用电量（单位：度），将数据按照 $[50 ， 100)$ 、 $[100 ， 150)$ 、 $\dots$ 、 $[300 ， 350]$ 分成六组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中x的值；

(2)、已知该小区有1000户居民，估计该小区 $7$ 月用电量不低于200度的户数，并说明理由；

(3)、估计该小区85%的居民7月用电量的值，并说明理由.

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19. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，且AD＝4DC．

(1)、求BD的长；

(2)、求sin∠BDC的值.

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20. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 1$ .

(1)、求证： $B D ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、求证：平面 $B D C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C$ ；

(3)、用一张正方形的纸把正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积.（结果不要求证明）

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21. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C //$ 平面 $P A D$ ， $B C = \frac{1}{2} A D$ ，E是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $B C // A D$ ；

(2)、求证： $C E //$ 平面 $P A B$ ；

(3)、若M是线段 $C E$ 上一动点，则线段 $A D$ 上是否存在点N，使 $M N //$ 平面 $P A B$ ？说明理由.

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