安徽省宣城市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-20 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ ，集合 $A = {2, 3, 5, 7}$ ，集合 $B = {1, 2, 4, 6, 7}$ ，则 $A \cap ∁_{U} B$ =（）

A、 ${2, 3}$ B、 ${3, 5}$ C、 ${3, 4}$ D、 ${2, 7}$

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2. 已知 $\overset{⇀}{a} = (4, 2)$ ， $\overset{⇀}{b}$ =（ $x$ ，6），且 $\overset{⇀}{a} / / \vec{b}$ ，则x= （）

A、12 B、13 C、14 D、15

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3. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2 e^{x - 1}, x < 2 \\ \log_{3} (x^{2} - 1), x \geq 2 \end{array}$ ，则 $f (f (2))$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 已知角 $α$ 的终边过点 $p (- 8 m, - 3)$ ， $\cos α = - \frac{4}{5}$ ，则m的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2^{| x |} - 4}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 设函数 $y = \ln (x + 1)$ 与函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{x - 2}$ 的图象交点坐标为 $(x_{0}, y_{0})$ ，则 $x_{0}$ 所在的大致区间是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 4)$

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7. 设 $a = \log_{2} \sqrt{3}$ ， $b = 3^{0.01}$ ， $， c = \ln \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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8. 已知 $\cos (- 70 °) = k$ ，那么 $\tan 110 °$ =（）

A、 $\frac{\sqrt{1 - k^{2}}}{k}$ B、 $- \frac{\sqrt{1 - k^{2}}}{k}$ C、 $- \frac{k}{\sqrt{1 - k^{2}}}$ D、 $\frac{k}{\sqrt{1 - k^{2}}}$

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9. 在 $△ A B C$ 中，点D是线段 $B C$ 上任意一点，M是线段 $A D$ 的中点，若存在实数 $λ$ 和 $μ$ ，使得 $\overset{⇀}{B M} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10. 若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 4$ 的定义域、值域都是 $[2, 2 b] (b > 1),$ 则（）

A、 $b = 2$ B、 $b \geq 2$ C、 $b \in (1, 2)$ D、 $b \in (2, + \infty)$

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11. 函数 $y = f (x)$ ，将其图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，然后再将它的图形沿x轴向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，得到函数 $y = \frac{1}{2} \sin x$ 的图象，则函数 $y = f (x)$ 的解析式是（）

A、 $f (x) = - \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}$ B、 $f (x) = \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}$ C、 $f (x) = - \frac{1}{2} \cos 2 x$ D、 $f (x) = \frac{1}{2} \cos 2 x$

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12. 黎曼函数（Riemannfunction）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出.黎曼函数定义在区间 $[0, 1]$ 上，其基本定义是：（） $R (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{p}, 当 x = \frac{q}{p} (p, q 都是正整数, \frac{q}{p} 只是不可以再约分的真分数) \\ 0, 当 x = 0, 1 或者 [0, 1] 上的无理数 \end{array}$ ，若函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且 $f (x) + f (2 - x) = 0$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $f (\frac{10}{3}) + f (\frac{3}{10}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{30}$ B、 $- \frac{2}{7}$ C、 $\frac{13}{30}$ D、 $- \frac{13}{30}$

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二、填空题

13. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 - x}}{\ln (x + 1)}$ 的定义域为.

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14. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 是平面的一组基底，若 $\vec{p} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，则 $\vec{p}$ 在基底 $\vec{a}, \vec{b}$ 下的坐标为 $(1, 2)$ ，那么 $\vec{p}$ 在基底 $\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} - \vec{b}$ 下的坐标为.

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15. 已知 $α$ 为第三象限角且 $\tan α = 3$ ，则 $\sqrt{\frac{1 + \sin α}{1 - \sin α}} + \sqrt{\frac{1 - \sin α}{1 + \sin α}}$ 的值为.

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16. 函数 $f (x) = \frac{5}{2} \sin (\frac{π}{2} x) - \log_{2} | x |$ 的零点个数为.

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三、解答题

17.

(1)、计算 $\sqrt{{(3 - π)}^{2}} + \ln e^{3} + 8^{\frac{1}{3}} - 3^{\log_{3} 4} - \log_{2} \frac{1}{4}$

(2)、化简 $f (α) = \frac{\sin (α + \frac{3}{2} π) \sin (- α + π) \cos (α + \frac{π}{2})}{\cos (- α - π) \cos (α - \frac{π}{2}) \tan (α + π)}$

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18. 已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) + b (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ 上的值域.

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19. 已知集合 $A = {a | m - 1 < a < m^{2} + 1}$ ，函数 $f (x) = \log_{2} x - a$ 在区间 $(\frac{1}{4} ， 4)$ 内有解时，实数a的取值范围记为集合B．

(1)、若 $m = 2$ ，求集合B及 $A \cup B$ ；

(2)、若A⫋B，求实数m的取值范围.

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20. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角是 $\frac{2 π}{3}$ .

(1)、求 $| 2 \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ ；

(2)、当 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为钝角时，求实数k的取值范围.

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21. 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.
（参考数据： $\lg 2 = 0.3010$ ， $\lg 3 = 0.4771$ ）

(1)、求森林面积的年增长率；

(2)、到今年为止，森林面积为原来的 $\sqrt{2}$ 倍，则该地已经植树造林多少年？

(3)、为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？

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22. 已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 满足： $f (x) + g (x) = 3^{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ ， $g (x)$ 并证明： $f^{2} (x) + g^{2} (x) = f (2 x)$ ；

(2)、当 $x \in [\log_{3} 2, 1]$ 时，不等式 $2 f (2 x) + 2 a g (x) + 1 \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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