浙江省丽水市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. $c o s \frac{2 π}{3}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 直线 $y = \sqrt{3} x + 1$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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3. 双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0, \pm 1)$ B、 $(\pm 1, 0)$ C、 $(0, \pm \sqrt{7})$ D、 $(\pm \sqrt{7}, 0)$

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4. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）

A、10cm³ B、20cm³ C、30cm³ D、40cm³

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5. 已知实数x、y满足不等式组 $\{\begin{cases} |x + y| \leq 1 \\ |x - y| \leq 1 \end{cases}$ ，则 $2 x + y$ 的最大值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + a} (a \in R)$ 的图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. “ $m > \frac{1}{2}$ ”是“ $x^{2} + y^{2} - 2 m x - m^{2} - 5 m + 3 = 0$ 为圆方程”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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8. 已知F是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点，若直线 $y = k x$ 与椭圆相交于 $A ， B$ 两点，且 $∠ A F B = 60 °$ ，则椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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9. 在梯形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} = 2 \vec{D C}$ ， $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，P为线段 $D E$ 上的动点（包括端点），且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{B C}$ （ $λ ， μ \in R$ ），则 $λ^{2} + μ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{11}{9}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{59}{48}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a$ （ $a \in R$ ）， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} - 2$ （ $n \in N *$ ），则下列说法中错误的是（）

A、若 $a > 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 为递增数列 B、若数列 ${a_{n}}$ 为递增数列，则 $a > 1$ C、存在实数 $a$ ，使数列 ${a_{n}}$ 为常数数列 D、存在实数 $a$ ，使 $| a_{n} + 1 | \leq 2$ 恒成立

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二、双空题

11. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 4 < 0}$ ， $B = {x | x > 1}$ ，则 $A \cap B =$ ， $A \cup B =$ .

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{2} x, x > 0 \\ 2^{x}, x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ；若 $f (x) < \frac{1}{2}$ ，则x的取值范围是.

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13. 已知直线 $l_{1} : 2 x + a y + 3 a = 0$ ， $l_{2} : (a - 1) x + 3 y + 7 - a = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a =$ ；若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a =$ .

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14. 定义二元函数 $f (x, y) = | 2 x - y |,$ 则不等式 $f (1, y) \leq 1$ 的解集是；若不等式 $f (x, 1) + f (x, - 2) \geq m$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值是.

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三、填空题

15. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $a \cos C, b \cos B, c \cos A$ 成等差数列，且 $a + c = 8$ ，则 $A C$ 边上中线长的最小值是.

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16. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D$ ，E是 $C D$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，则在翻折过程中，异面直线 $A D$ 与 $B E$ 所成角的取值范围是.

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17. 若对任意 $b \in [0 ， 2]$ ，当 $x \in [\frac{1}{a} ， 1]$ $(a > 1)$ 时，不等式 $| a x^{2} + b x - 1 | \leq 4 x$ 恒成立，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \cos x (\sin x + \sqrt{3} \cos x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若角 $α \in (0 ， π)$ ， $f (\frac{α}{2}) = \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\sin (α + \frac{2 π}{3})$ 的值.

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $B C = 2 A D = 4$ ， $A B = C D = \sqrt{10}$ .

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $A P = \sqrt{6}$ ，求 $B C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = n^{2}$ ，正项等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ，且 $9 b_{3}$ 是 $a_{2} b_{2}$ 与 $a_{3} + b_{1}$ 的等差中项．

(1)、求数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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21. 如图，直线l与抛物线 $y^{2} = 2 x$ 相交于 $A ， B$ 两点，与x轴交于点Q，且 $O A ⊥ O B$ ， $O D ⊥ l$ 于点 $D (m ， n)$ .

(1)、当 $n = 1$ 时，求m的值；

(2)、当 $m \in [\frac{1}{2} ， \frac{3}{2}]$ 时，求 $△ O D Q$ 与 $△ O A B$ 的面积之积 $S_{△ O D Q} \cdot S_{△ O A B}$ 的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x + \frac{2}{x}$ ， $g (x) = - 2 x^{2} + a x$ ， $a \in R$ .

(1)、若函数 $y = g (f (x))$ 存在零点，求a的取值范围；

(2)、已知函数 $m (x) = {\begin{array}{l} f (x), f (x) \geq g (x) \\ g (x), f (x) < g (x) \end{array}$ ，若 $m (x)$ 在区间 $(1, 4)$ 上既有最大值又有最小值，求实数a的取值范围.

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