浙江省湖州市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）.

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[- 3 ， 1)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $[- 1 ， 1)$

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2. 设 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $3 S_{3} = a_{4} - 3$ ， $3 S_{2} = a_{3} - 3$ ，则公比 $q =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 袋中有100个球，其中红球10个，从中任取5个球，则至少有一个红球的取法种数是（）

A、 $C_{10}^{1} C_{90}^{4}$ B、 $C_{10}^{1} C_{90}^{4} + C_{10}^{2} C_{90}^{3} + C_{10}^{3} C_{90}^{2} + C_{10}^{4} C_{90}^{1}$ C、 $C_{100}^{5} - C_{90}^{5}$ D、 $C_{100}^{5} - C_{10}^{5}$

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4. 已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（）

A、 $y = \sin (e^{x} + e^{- x})$ B、 $y = \sin (e^{x} - e^{- x})$ C、 $y = \cos (e^{x} - e^{- x})$ D、 $y = \cos (e^{x} + e^{- x})$

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5. 已知 $α$ 为锐角，且 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin α =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{3} + 3}{10}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} - 3}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3} + 4}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3} - 4}{10}$

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6. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x} + t ， x \geq 0 \\ g (x) ， x < 0 \end{array}$ 为定义在R上的奇函数，则 $f (\log_{2} \frac{1}{3})$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、-9 C、-8 D、 $- \frac{1}{3}$

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7. 实数x、y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \leq 1 \\ x - y \leq 1 \\ x \geq 0 \end{array}$ ，若目标函数 $z = a x + y$ 取到最大值2时仅有唯一最优解，则实数a等于（）

A、0 B、4 C、2 D、-2

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8. 安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（）

A、13 B、18 C、22 D、28

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9. 已知随机变量与满足分布列 $ξ ~ B (3 ， p)$ ，当 $p \in (\frac{1}{2} ， \frac{2}{3})$ 且不断增大时，（）

A、 $P (ξ = 2)$ 的值增大，且 $D (ξ)$ 减小 B、 $P (ξ = 2)$ 的值增大，且 $D (ξ)$ 增大 C、 $P (ξ = 2)$ 的值减小，且 $D (ξ)$ 增大 D、 $P (ξ = 2)$ 的值减小，且 $D (ξ)$ 减小

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10. 已知 $x_{0} (x_{0} \in R ， x_{0} \neq 0)$ 和1是函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x (a > b > c)$ 的两个不同的零点，若实数 $m \in (0 ， \frac{3}{2})$ ，则零点 $x_{0}$ 的值可能是（）

A、 $m + 2$ B、 $m - 2$ C、 $m + \frac{1}{2}$ D、 $m - \frac{1}{2}$

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二、双空题

11. 已知复数z满足 $z (3 - i) = 10$ （ $i$ 为虚数单位），则复数 $z$ 的虚部等于；复数 $z$ 的模为.

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12. 钝角△ $A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $A = \frac{π}{6} ， a = 1 ， c = \sqrt{3}$ ，则 $C =$ ， △ $A B C$ 的面积等于.

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13. 《张丘建算经》卷上有一题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，金一月日织九匹三丈意思就是说：有一位善于纺织的女子，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月共织了390尺布（按30天计），记该女子第 $n$ 天织布的量为 $a_{n}$ ，则 $a_{13} + a_{18} =$ ，每天比前一天多织布尺.

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14. 盒子中装有8个小球（除颜色外完全相同），其中红球5个，黑球3个，现从该盒子中一次性任意取出3个球，若规定：取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，且取3个球的总得分记为 $ξ$ ，则 $P (ξ = 4) =$ ， $E (ξ) =$ .

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三、填空题

15. 若不等式 $x^{2} - | x - 2 a | \leq a - 3$ 在 $x \in [- 1 ， 1]$ 上恒成立，则正实数a的取值范围是.

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16. 若 $x > y > 0$ ，则 $2 x^{4} + \frac{1}{y (x - y)}$ 的最小值是.

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17. 已知同一平面内的单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{e_{3}}$ ，则 $(\vec{e_{2}} - \vec{e_{1}}) \cdot (\vec{e_{2}} - \vec{e_{3}})$ 的取值范围是.

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四、解答题

18. 二项式 ${(\sqrt{x} + \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}})}^{n}$ 的展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大.

(1)、求所有二项式系数的和；

(2)、求展开式中的有理项.

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{3} + x^{2} (a \in R)$ 在 $x = - \frac{4}{3}$ 处取得极值.

(1)、求实数a的值；

(2)、若 $g (x) = f (x) \cdot e^{x}$ （其中e为自然对数的底数），求曲线 $g (x)$ 在点 $(1 ， g (1))$ 处的切线的方程.

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20. 如图，三棱锥 $D - A B C$ 中， $A D = C D$ ， $A B = B C = 4 \sqrt{2}$ ， $A B ⊥ B C$ .

(1)、求证： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、若二面角 $D - A C - B$ 的大小为 $150 °$ 且 $B D = 4 \sqrt{7}$ 时，求 $Δ B C D$ 的中线 $B M$ 与面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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21. 如图，已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点B在准线l上的投影为E，点C是抛物线上一点，且满足 $A C ⊥ E F$ .

(1)、若点A坐标是 $(4 ， 4)$ ，求线段 $A C$ 中点M的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最小值及此时直线 $A C$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = (x + 1) \cdot (\ln (x + 1) - 1)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a x - b (a ， b \in R)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上存在零点，求 $a^{2} + b$ 的最小值.（参考数据： $\ln 2 \approx 0.6931$ ）

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