上海市徐汇区2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B_{1}$ 和 $B C_{1}$ 所成角的大小是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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2. 已知 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 是定点， $| F_{1} F_{2} | = 6$ .若动点M满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 6$ ，则动点M的轨迹是（）

A、直线 B、线段 C、圆 D、椭圆

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3. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 $45 °$ ，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ D、 $1 + \sqrt{2}$

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4. 如图，点A是曲线 $y = \sqrt{x^{2} + 2} (y ≤ 2)$ 上的任意一点， $P (0 ， - 2)$ ， $Q (0 ， 2)$ ，射线 $Q A$ 交曲线 $y = \frac{1}{8} x^{2}$ 于 $B$ 点， $B C$ 垂直于直线 $y = 3$ ，垂足为点C.则下列判断：① $| A P | - | A Q |$ 为定值 $2 \sqrt{2}$ ；② $| Q B | + | B C |$ 为定值5.其中正确的说法是（）

A、①②都正确 B、①②都错误 C、①正确，②错误 D、①都错误，②正确

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二、填空题

5. 已知直线l的一个方向向量是 $(1, 2)$ ，则它的斜率为.

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6. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线方程为：。

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7. 直线 $l_{1} : 2 x - y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + 2 y + 1 = 0$ 的夹角为.

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8. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的 $A A_{1}$ 、 $A B$ 、 $A D$ 的长分为3､4､5，则点A到棱 $B_{1} C_{1}$ 的距离为.

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9. 若O为坐标原点， $P$ 是直线 $x - y + 2 = 0$ 上的动点，则 $| O P |$ 的最小值为.

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10. 如图，以长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点D为坐标原点，过 $D$ 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 $\overset{⇀}{D B_{1}}$ 的坐标为 $(4 ， 3 ， 2)$ ，则 $\overset{⇀}{A C_{1}}$ 的坐标为

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11. 过点 $M (1, \sqrt{3})$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 的切线方程是．

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12. 已知 $x + 2 y \leq 1 (x \geq 0, y \geq 0)$ ，则 $x - y$ 的最大值是.

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13. 如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为4，则四面体 $C - A_{1} B C_{1}$ 的体积为.

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14. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{a - 2} = 1$ 的焦点坐标为 $(0, \pm \sqrt{6})$ ，则a的值为.

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15. 从m（ $m \in N^{*}$ 且 $m \geq 4$ ）个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则 $m =$ ．

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16. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B是母线 $S A$ 上一点，且 $A B = 10$ 公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从 $A$ 绕山一周到B的观光铁路.这条铁路从 $A$ 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为公里.

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三、解答题

17. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - k x + 1 = 0 (k \in R)$ 的两根为 $x_{1}, x_{2}$ .

(1)、若 $x_{1}$ 为虚数，求k的取值范围；

(2)、若 $| x_{1} - x_{2} | = 2$ ，求 $k$ 的值.

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18. 已知 ${(2 x - 1)}^{n} (n \in N^{*})$ 的二项展开式中二项式系数之和为256.

(1)、求n的值；

(2)、求该展开式中 $x^{3}$ 项的系数.

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19. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1.

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ A D_{1}$ ；

(2)、求 $A_{1} C$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的大小.

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20. 高二A班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务.已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要1300元，此桶装冰激凌桶内底面直径为25厘米，冰激凌净高20厘米.单球冰激凌的平均直径约为5厘米，一副一次性杯勺的成本约1元(其他成本忽略不计).根据前期调查，冰激凌球能全部售完.高二A班打算将每个单球冰激凌定价为15元，你认为这样的定价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由.

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21. 已知：椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为2，且经过点 $M (1, \frac{3}{2})$ ，A､B是椭圆上异于M的两个动点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若 $∠ A M B = 90 °$ ，求证：直线 $A B$ 过定点，并求出该定点坐标.

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