北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2020-08-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x < 1}$ ， $B = {x | x < 2}$ ，则集合 $(∁_{U} A) \cup B =$ （）

A、 $(- \infty ， + \infty)$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[1 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 1) \cup [2 ， + \infty)$

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2. 焦点在 $x$ 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3的抛物线的标准方程是（）

A、 $y^{2} = 12 x$ B、 $y^{2} = 3 x$ C、 $x^{2} = 6 y$ D、 $y^{2} = 6 x$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (t ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ .若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} |$ 的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 设 $a = 2 \ln \sqrt{2} ， b = {(\frac{1}{2})}^{- 0.2} ， c = \lg 0.2$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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5. 在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = \cos x$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = e^{x}$

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6. 圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 2 = 0$ 截 $x$ 轴所得弦的长度等于（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、2

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7. 已知两条不同的直线 $l ， m$ 和两个不同的平面 $α ， β$ ，下列四个命题中错误的为（）

A、若 $l // α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α // β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $α \cap β = m$ ， $l // α$ 且 $l // β$ ，则 $l // m$ D、若 $α // β$ ， $m // α$ ，则 $m // β$

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8. 已知函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ ，则“ $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递减”是“ $3 \leq ω \leq 4$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 将函数 $f (x) = \cos (3 x + \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度，得到的图象的函数解析式为（）

A、 $y = - \sin (3 x + \frac{π}{6})$ B、 $y = \cos (3 x + \frac{π}{2})$ C、 $y = - \cos (3 x + \frac{π}{6})$ D、 $y = \sin (3 x + \frac{π}{6})$

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10. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且满足下列三个条件：①对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [5 ， 10]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ；② $f (x + 10) = f (x)$ ；③ $f (x + 5)$ 是偶函数；若 $a = f (2020)$ ， $b = f (3)$ ， $c = f (- 18)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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二、填空题

11. 已知复数 $z = \frac{4 - 2 i}{i}$ ，则 $| z | =$ .

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则该双曲线的渐近线方程为．

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13. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ . 若其前k项和为93，则 $k =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 4 ，$ $A C = 5$ ， $B C = 6$ ，则 $A C$ 边上的高等于.

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15. 已知函数 $f (x) = e^{| x |} ， g (x) = k x$ ：① 函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty ， 0)$ ；② 若函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ 有且只有一个零点，则 $k = \pm 1$ ；③ 若 $k \in (1 ， e) \cup (e ， + \infty)$ ，则 $\exists b \in R$ ，使得函数 $f (x) - b = 0$ 恰有2个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $g (x) - b = 0$ 恰有一个零点 $x_{3}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2} \neq x_{3}$ ， $x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1$ .其中，所有正确结论的序号是.

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三、解答题

16. 已知 ${a_{n}}$ 是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ . 又 $d = - 4$ ，且 $S_{5} = 40$ ，是否存在大于1的正整数k，使得 $S_{k} = S_{1}$ ？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.

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17. 已知函数 $f (x) = \cos x (2 \sin x + \sqrt{3} \cos x) - \sqrt{3} \sin^{2} x$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

（Ⅱ）若当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，关于x的不等式 $f (x) \geq m$ 有解，求实数m的取值范围.

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18. 在天猫进行6.18大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：

（Ⅰ）将当日的消费金额超过2000元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达人”中随机抽取3人，求至少有1位消费者，当日的消费金额超过2500元的概率；

（Ⅱ）该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案1：按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为100元、200元和300元.方案2：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有3张牌，背面都是相同的喜羊羊头像，正面有1张笑脸、 2张哭脸，将3张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次. 每翻到一次笑脸可得30元奖励金.如果消费金额不超过1000元的消费者均可参加1轮翻牌游戏；超过1000元且不超过2000元的消费者均可参加2轮翻牌游戏；2000元以上的消费者均可参加3轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）.以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = A B = 2$ ， $B C = C D = 1$ ， $P C = 3$ ， $E$ 为线段 $P B$ 上一点（ $E$ 不是端点），.从① $C D ⊥ B C$ ；② $C D / /$ 平面 $P A B$ ；这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

（Ⅰ）求证：四边形 $A B C D$ 是直角梯形；

（Ⅱ）求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）是否存在点E，使得直线 $A E / /$ 平面 $P C D$ ，若存在，求出 $\frac{P E}{P B}$ 的值，若不存在，请说明理由.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}}$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）求证：当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时， $f (x) < - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 1$ ；

（Ⅲ）当 $x < 0$ 时，若曲线 $y = f (x)$ 在曲线 $y = - a x^{2} + 4 a x - 1$ 的下方，求实数a的取值范围.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 分别是椭圆长轴的左右两个端点，P是椭圆上异于点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 的点.
（Ⅰ）求出椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）设点Q满足： $Q A_{1} ⊥ P A_{1}$ ， $Q A_{2} ⊥ P A_{2}$ .求 $△ P A_{1} A_{2}$ 与 $△ Q A_{1} A_{2}$ 面积的比值.

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