北京市通州区2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = 1 + 2 i (i$ 是虚数单位），那么z的虚部是（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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2. 已知函数 $f (x) = \ln x$ ，导函数为 $f^{'} (x)$ ，那么 $f^{'} (2)$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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3. ${(a + 1)}^{5}$ 展开式中的第2项是（）

A、 $5 a^{3}$ B、 $10 a^{3}$ C、 $5 a^{4}$ D、 $10 a^{4}$

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4. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x + 1 ⩾ 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 < 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 < 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x + 1 ⩾ 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x + 1 ⩽ 0$

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5. “ $x^{2} = 1$ ”是“ $x = 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 下列给出四个求导运算：
① $(x - \frac{1}{x})^{'} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$ ；② $(x e^{x})^{'} = e^{x} (x + 1)$ ；③ $(\frac{\sin x}{2})^{'} = \frac{\cos x}{4}$ ；④ $(x^{2} - x - l n x)^{'} = \frac{(x - 1) (2 x + 1)}{x}$ .

其中运算结果正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 已知有 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $\dots$ ， $B_{6}$ 支篮球队举行单循环赛（单循环赛：所有参赛队均能相遇一次），那么比赛的场次数是（）

A、15 B、18 C、24 D、30

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8. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 $12 = 5 + 7$ ，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（）

A、 $\frac{1}{42}$ B、 $\frac{1}{21}$ C、 $\frac{2}{21}$ D、 $\frac{1}{7}$

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9. 甲、乙等7人排成一排，甲在最中间，且与乙不相邻，那么不同的排法种数是（）

A、96 B、120 C、360 D、480

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10. 已知函数 $f (x)$ 的图象如图所示，那么该函数可能为（）

A、 $f (x) = \frac{l n x}{| x |}$ B、 $f (x) = \frac{l n | x |}{x}$ C、 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x - 1}{e^{x}} ， x > 0 \\ (x + 1) e^{x} ， x < 0 \end{array}$ D、 $f (x) = {\begin{array}{l} - \frac{l n x}{x^{2}} ， x > 0 \\ \frac{l n (- x)}{x^{2}} ， x < 0 \end{array}$

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二、填空题

11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 1$ ，那么 $f (x)$ 的极小值是.

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12. ${(2 x - 1)}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为（用具体数据作答）.

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13. 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，该运动员连续3次射击，中靶2次的概率是.

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14. 欧拉公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （其中i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，当 $x = π$ 时， $e^{π i} + 1 = 0$ ，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”，根据欧拉公式，若将 $e^{\frac{π}{3} i}$ 所表示的复数记为 $z$ ，那么 $| z | =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n x ， x > 0 \\ e^{x} (x + 1) ， x ⩽ 0 \end{array}$ ，若函数 $F (x) = f (x) - c (c \in R)$ 恰有3个零点，则实数 $c$ 的取值范围是.

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0$ ， $f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[1$ ， $2]$ 上的最大值和最小值.

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17. 已知复数 $z = 1 - i (i$ 是虚数单位）.

(1)、求 $z^{2} - z$ ；

(2)、如图，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面上的对应点分别是A，B，求 $\frac{z_{1} + z_{2}}{z}$ .

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18. 一批笔记本电脑共有8台，其中A品牌3台，B品牌5台，如果从中随机挑选2台.

(1)、求挑选的2台电脑都是B品牌电脑的概率；

(2)、设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，求X的分布列和均值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - m x - 2 l n x$ ， $m \in R$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求 $f (x)$ 的单调递增区间和单调递减区间；

(2)、求 $f (x)$ 的极值点.

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20. 为了让市民了解垃圾分类，养成垃圾分类的好习惯，同时让绿色环保理念深入人心，我市将垃圾进行了分类，共分为四类：厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾，某班按此四类由10位同学组成宣传小组，其中厨余垃圾与可回收物宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学，现从这10位同学中选派同学到社区进行宣传活动.

(1)、若选派3位同学参加活动，求这3位同学中至少有1位是可回收物宣传小组的选法有多少种？

(2)、若选派4位同学参加活动，求这4位同学中，每个小组恰好1位的概率；

(3)、若选派5位同学参加活动，求这5位同学中，每个小组至少1位的概率.（直接写出结论即可）

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21. 已知函数 $f (x) = a x - (2 a + 2) \ln x - \frac{4}{x} + 2$ ， $g (x) = e^{x} - \frac{3}{2} x - \frac{4}{x}$ .

(1)、若 $a \leq 1$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = - \frac{3}{2}$ ，求证： $f (x) < g (x)$ .

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