吉林省松原市长岭县2019-2020学年八年级下学期数学期末试卷

试卷更新日期：2020-08-19 类型：期末考试

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一、选择题：本大题共6个小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 要使二次根式 $\sqrt{5 + 2 x}$ 有意义，则 $x$ 必需满足（）

A、 $x \geq - \frac{5}{2}$ B、 $x \leq - \frac{5}{2}$ C、 $x$ 为任何实数 D、 $x$ 为非负数

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2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{12}$ B、 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{0.01}$

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3. 下列函数中， $y$ 是 $x$ 的正比例函数的是（）

A、 $y = \frac{x}{3}$ B、 $y = 2 x - 1$ C、 $y = 2 x^{2}$ D、 $y = - 2 x + 1$

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4. 如图，对四边形 ABCD 增加条件，使之成为平行四边形，下面添加不正确的是（）

A、 $A B = C D ， A B / / C D$ B、 $A B / / C D ， A D = B C$ C、 $A B = C D ， A D = B C$ D、 $A C$ 与 $B D$ 相互平分

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5. 已知， $A (- \frac{1}{3}, y_{1}), B (- \frac{1}{2}, y_{2}), C (1, y_{3})$ 是一次函数 $y = - 3 x + b$ 的图象上三个点，则 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$

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6. 如图，平行四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A C = 4$ ， $B D = 8$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）

7. 计算： $\sqrt{24} - 9 \sqrt{\frac{2}{3}}$ 的结果是.

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8. 点 $P (- 1, 0)$ 在一次函数 $y = k x + 2 k - 5$ 的图象上，那么 $k =$ ．

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9. 有两根木棒，分别长 $6 c m$ 、 $5 c m$ ，要再在 $7 c m$ 的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，则第三根木棒要取的长度是．

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10. 在数轴上表示实数 $a$ 的点如图所示，化简 $\sqrt{{(a - 5)}^{2}} + | a - 2 |$ 的结果为．

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11. 如图，在平面直角坐标系中， $A (8 ， 0)$ ， $B (0 ， 6)$ ，以点 $A$ 为圆心， $A B$ 长为半径画弧，交 $x$ 轴的负半轴于点 $C$ ，则点 $C$ 的坐标为．

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12. 三个正方形如图摆放，其中两个正方形的面积为 $S_{1} = 25$ ， $S_{2} = 144$ ，则第三个正方形面积为 $S_{3} =$ ．

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13. 李老师开车从甲地到相距 $240$ 千米的乙地，如果油箱剩余油量 $y$ （升）与行驶里程 $x$ （千米）之间是一次函数关系，其图像如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是升．

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14. 小明利用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示的菱形，并测得 $∠ B = 60^{\circ}$ ，接着活动学具成为图2所示的正方形，并测得 $A C = 40 c m$ ，则图1中对角线 $A C$ 长为 $c m$ ．

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三、解答题：共84分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

15. 计算： $(3 \sqrt{12} - 2 \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}) \div 2 \sqrt{3}$ .

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16. 计算： $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) + {(\sqrt{3} - 2)}^{2}$ ．

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17. 已知 $x = 2 - \sqrt{3}$ ， $y = 2 + \sqrt{3}$ ，求代数式 $x^{2} + x y + y^{2}$ 的值.

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18. 已知 $y$ 与 $x + 2$ 成正比例，当 $x = 4$ 时， $y = 12$ .

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式.

(2)、判断点 $(- 7, - 10)$ 是否是函数图象上的点，并说明理由.

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19. 一次函数 $y_{1} = x + 1$ 的图象与正比例函数 $y_{^{2}} = k x$ （ $k$ 是常数，且 $k \neq 0$ ）的图象都经过点 $A (m ， 2)$ .

(1)、求正比例函数的表达式；

(2)、利用函数图象直接写出当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围.

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20. 在边长为 $1$ 的正方形网格中， $Δ A B C$ 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：

(1)、线段BC的长为， $Δ A B C$ 的面积为；

(2)、画出 $A P$ （点 $P$ 在格点上），使 $A P = B C$ （画出所有可能情形）；

(3)、试说明： $∠ B A C = 90^{\circ}$

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21. 如图是甲、乙两人从同一地点出发后路程随时间变化的图像.根据图象回答下列问题：

(1)、在此变化过程中，自变量是：；

(2)、甲的速度乙的速度（填“大于”“等于”或“小于”）

(3)、甲出发后几小时与乙相遇：；

(4)、甲比乙先走多长时间：；

(5)、 $9$ 时，甲在乙的（填“前面”“后面”或“相同位置”）

(6)、若行驶的路程为 $150$ 千米，则甲行驶了小时，乙行驶了小时

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22. 观察下列各式：
① $\sqrt{1 + \frac{1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；② $\sqrt{2 + \frac{1}{4}} = 3 \sqrt{\frac{1}{4}}$ ；③ $\sqrt{3 + \frac{1}{5}} = 4 \sqrt{\frac{1}{5}}$ ；...

(1)、请观察规律，并写出第④个等式：；

(2)、请用含 $n (n \geq 1)$ 的式子写出你猜想的规律：；

(3)、证明（2）中的结论.

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23. 某玉米种子的价格为

60

元

/ k g

，如果一次性购买

5 k g

以上的种子，超过

5 k g

部分的种子的价格打

8

折.

(1)、根据题意，补充下表：

购买种子的重量 $/ k g$	$3$	$4$	$5$	$6$	$...$
付款金额/元	$180$		$300$		$...$

(2)、设购买种子的重量为

x (x > 5) k g

，付款金额为

y

元，求

y

与

x

的函数关系式；

(3)、若王伯伯一次性购买该种子花了

540

元，求他购买种子的重量.

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24. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 边上的一点， $E$ 是 $A D$ 的中点，过 $A$ 点作 $B C$ 的平行线交 $C E$ 的延长线于点 $F$ ，且 $A F = B D$ ，连接 $B F$ .

(1)、证明： $B D = C D$ ；

(2)、当 $Δ A B C$ 满足什么条件时，四边形 $A F B D$ 是矩形？并说明理由.

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25. 提出问题：如图①，在正方形 $A B C D$ 中，点 $P ， F$ 分别在边 $B C ， A B$ 上，若 $A P ⊥ D F$ 于点 $H$ ，则 $A P = D F$ .类比探究：

(1)、如图②，在正方形 $A B C D$ 中，点 $P ， F ， G$ 分别在边 $B C ， A B ， A D$ 上，若 $G P ⊥ D F$ 于点 $H$ ，探究线段 $G P$ 与 $D F$ 的数量关系，并说明理由.

(2)、如图③，在正方形 $A B C D$ 中，点 $P ， F ， G$ 分别在边 $B C ， A B ， A D$ 上， $G P ⊥ D F$ 于点 $H$ ，将线段 $P G$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $P E$ ，连接 $E F$ ，若四边形 $D F E P$ 为菱形，探究 $D G$ 和 $P C$ 的数量关系，并说明理由.

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26. 如图，直线 $y = - \sqrt{3} x + 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与直线 $y = \sqrt{3} x$ 相交于点 $P$ .

(1)、求点 $P$ 的坐标；

(2)、动点 $F$ 从原点 $O$ 出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度在线段 $O A$ 上向点 $A$ 作匀速运动，连接 $P F$ ，设运动时间为 $t$ 秒， $Δ P F A$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于 $t$ 的函数关系式

(3)、若点 $M$ 是 $y$ 轴上的点，点 $N$ 是坐标平面内的点若以 $O ， M ， N ， P$ 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点 $N$ 的坐标.

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