辽宁省鞍山市台安县2020年数学中考一模试卷（5月）

试卷更新日期：2020-08-18 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 4的平方根是（）

A、2 B、±2 C、 $\sqrt{2}$ D、± $\sqrt{2}$

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2. 如图所示的几何体是由五个小正方形组合而成的，则它的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a + 3 b = 5 a b$ B、 $a^{5} \div a^{5} = a$ C、 ${(- a^{2} b)}^{3} = - a^{6} b^{3}$ D、 ${(- a + b)}^{2} = - a^{2} + 2 a b + b^{2}$

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4. 如图， $A B // C D$ ， $C E$ 交 $A B$ 于点 $E$ ， $∠ 1 = 48 ° 15^{'}$ ， $∠ 2 = 18 ° 45^{'}$ ，则 $∠ B E C$ 的度数为（　　）

A、 $48 ° 15^{'}$ B、 $66 °$ C、 $60 ° 30^{'}$ D、 $67 °$

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5. 下列说法不正确的是（）

A、了解一批电视的寿命，适合抽样调查 B、数据 $- 1, 1.5, 2, 2, 4$ 的中位数是2 C、若甲组数据的方差是 $s^{2} = 0.29$ ，乙组数据的方差是 $s^{2} = 0.23$ ，则乙组数据比甲组数据稳定 D、某种彩票中奖的概率是 $\frac{1}{100}$ ，买100张该种彩票一定会中奖

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6. 如图，将置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A'OB'.已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B'点的坐标为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2})$ B、 $(\frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$

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7. 如图，点 $P$ 是 $∠ A O B$ 内任意点， $O P = 8 c m ， M ， N$ 分别是射线OA，和射线OB上的动点， $Δ P M N$ 周长的最小值为8cm，则 $∠ A O B$ 的度数是（）

A、 $30^{°}$ B、 $40^{°}$ C、 $50^{°}$ D、 $60^{°}$

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8. 在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，把△ABE沿直线AE折叠，B点落在点B′处，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC.下列结论：①AB′=AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠CB′D=135°；④BB′=BC；⑤ $A B^{2} = A E \cdot A F$ .其中正确的个数为（）.

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

9. 响应党中央号召，连日来，全国广大共产党员继续踊跃捐款，表达对新冠肺炎疫情防控工作的支持，据统计，截止2020年3月26日，全国已有7901多万党员自愿捐款82.6亿元，将82.6亿用科学记数法表示为.

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10. 在一个不透明的袋子里装有16个红球和若干个白球，这些球除颜色不同外无其它差别.每次从袋子里摸出一个球记录下颜色后再放回，经过大量的重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.6，则袋中白球的个数是.

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11. 某市今年起调整水价，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的水费是20元，而今年5月份的水费是50元，已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x元/立方米，则所列方程为

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12. 已知 $a, b, c$ 为 $Δ A B C$ 的三边长，且方程 $(a + b) x^{2} - 2 c x + a = b$ 有两个相等的实数根，则三角形 $Δ A B C$ 的形状为

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13. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=4，∠C=30°，⊙O与AD相交于点F，AB为⊙O的直径，⊙O与CD的延长线相切于点E，则劣弧FE的长为

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14. 如图，是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的一部分，其对称轴是 $x = - 1$ ，且过点 $(- 3 ， 0)$ ，下列说法：① $a b c < 0$ ；② $2 a - b = 0$ ；③若 $(- 5 ， y_{1}) ， (3 ， y_{2})$ 是抛物线上两点，则 $y_{1} = y_{2}$ ；④ $4 a + 2 b + c < 0$ 其中正确的（填写序号）

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15. 如图（1）所示，E是矩形ABCD的边AD上一边，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线 $B E - E D - D C$ 运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P，Q同时出发t秒后时， $Δ B P Q$ 的面积为 $y c m^{2}$ ，已知 $y$ 与 $t$ 的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则当t的值是时， $Δ B P Q$ 面积为4.

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16. 如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线 $y = x$ 与直线 $y = 2 x$ 的内部作等腰 $R t Δ A B C$ ，使 $∠ A B C = 90 °$ ，边 $B C / / x$ 轴， $A B / / y$ 轴， $A (1 ， 1)$ 在直线 $y = x$ 上，点C在直线 $y = 2 x$ 上，CB的延长线交直线 $y = x$ 于点 $A_{1}$ ，作等腰 $R t Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使 $∠ A_{1} B_{1} C_{1} = 90 ° ， B_{1} C_{1} / / x$ 轴， $A_{1} B_{1} / / y$ 轴，点 $C_{1}$ 在直线 $y = 2 x$ 上，按此规律，则等腰 $R t Δ A_{2020} B_{2020} C_{2020}$ 的腰长为.

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三、解答题

17. 先化简，再求值： $(\frac{x + 2}{x} - \frac{x - 1}{x - 2}) \div \frac{x - 4}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，其中x是不等式 $3 x + 7 > 1$ 的负整数解.

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18. 如图，将 $▱ A B C D$ 的边 $D C$ 延长到点E，使得 $C E = D C$ ，连接 $A E$ ，交 $B C$ 于点F

(1)、求证： $B F = \frac{1}{2} B C$ ；

(2)、若 $∠ A F C = 2 ∠ D$ ，连接 $A C ， B E ，$ 求证：四边形 $A B E C$ 是矩形

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19. 为推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向大自然，走到阳光下积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了如图所示两个统计图，请根据相关信息，解答下列问题：

(1)、求本次抽样调查的学生人数

(2)、通过计算补全条形统计图和扇形统计图；

(3)、若学生计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋约多少双？

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20. 有四张背景相同的纸牌A，B，C，D正面分别画有四个不同的几何图形（如图所示），小亮将这四张纸牌背面朝上均匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张.

(1)、求小亮第一次摸到轴对称图形的概率是；

(2)、求摸出的两次牌正面图形都是中心对称图形的概率（纸牌用A，B，C，D表示）

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21. 已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC ，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：

（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

(1)、坡顶A到地面PO的距离；

(2)、古塔BC的高度（结果精确到1米）．

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22. 如图，在平面坐标系中，正比例函数 $y = k x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象都经过点 $A (2 ， - 2)$ .

(1)、分别求出这两个函数的解析式；

(2)、将直线OA向上平移3个单位后与 $y$ 轴交于点B，与反比例函数的图象在第四象限内的交点为C，连接 $A B ， A C$ ，求 $Δ A B C$ 的面积

(3)、在（2）的条件下，反比例 $y = \frac{m}{x}$ 函数的图象上是否存在点D使得 $C D ⊥ B C$ ？若存在直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

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23. 如图 $A B$ 是 $⊙ O$ 直径，点D为 $A B$ 下方 $⊙ O$ 上的一点，点 $C$ 为 $A B D$ 的中点，连接 $C D ， C A$ ；

(1)、求证： $∠ A B D = 2 ∠ B D C$ ；

(2)、过点C作 $C E ⊥ A B$ 于H，交AD于E，若 $O H = 5 ， A D = 24$ ，求线段 $D E$ 的长.

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24. 高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元作为固定投资，已知生产每件产品的成本是40元.在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额一生产成本—投资）为z（万元）.

(1)、试写出y与x之间的函数关系式（不写x的取值范围）；

(2)、试写出z与x之间的函数关系式（不写x的取值范围）；

(3)、公司计划，在第一年按年获利最大确定销售单价进行销售；到第二年年底获利不低于1130万元，请借助函数的大致图象说明：第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？

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25. 如图1， $▱ A B C D$ 中， $A B = A C$ ， $P ， Q$ 分别是 $B D ， C D$ 上的点，且满足 $∠ P A Q = ∠ C$ .

(1)、求证： $∠ A P B + ∠ A Q C = 180^{°}$

(2)、在图1中，是否存在与AP相等的线段？若存在，请找出来，并加以证明；若不存在，说明理由.

(3)、若将“ $A B = A C ， P$ 为 $B D$ 上的点”改为：“ $A B = k A C ， P$ 为DB延长线上的点”其他条件不变（如图2）若 $∠ A Q C = α$ ，求线段 $C Q ， P B ， A P$ 之间的数量关系（用含 $k ， α$ 的式子表示）

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26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴的正半轴交于点A，抛物线的顶点为B，直线 $y = k x - 6 k$ 经过A，B两点，且 $\tan ∠ B A O = 3$ .

(1)、求抛物线的解析式

(2)、点P在第一象限内对称轴右侧的抛物线上，其横坐标为 $t$ ，连接OP，交对称轴于点C，过点C作 $C D / / x$ 轴，交直线 $A B$ 于点 $D$ ，连接 $P D$ ，设线段 $P D$ 的长为 $d$ ，求 $d$ 与 $t$ 之间的函数关系式，并直接写出自变量 $t$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，点 $E$ 在线段 $B C$ 上，连接 $E P$ ，交 $B D$ 于点F，点G是BE的中点，过点G作 $G Q / / x$ 轴，交 $P E$ 的延长线于点 $Q$ ，当 $∠ O P Q = 2 ∠ A O P$ 且 $E F = P F$ 时，求点 $P ， Q$ 的坐标；

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