上海市虹口区2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，m是直线且 $m \subset α$ ．“ $m ∥ β$ ”是“ $α ∥ β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 设 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 分别是椭圆 $E : x^{2} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $0 < b < 1$ )的左､右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆E相交于A､B两点，且 $2 | A B | = | A F_{2} | + | B F_{2} |$ ，则 $| A B |$ 的长为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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3. 方程为 $2 x^{2} - 4 x + y^{4} = 2$ 的曲线，给出下列四个结论：
① 关于 $x$ 轴对称；② 关于坐标原点对称；③ 关于y轴对称； ④ $1 - \sqrt{2} \leq x \leq 1 + \sqrt{2}$ ， $- \sqrt{2} \leq y \leq \sqrt{2}$ ；

以上结论正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P为 $B C$ 的中点，Q为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点A､P､Q的平面截该正方体所得的截面记为S，给出下列三个结论：

① 当 $0 < C Q < \frac{1}{2}$ 时，S为四边形；

② 当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时，S为等腰梯形；

③ 当 $C Q = 1$ 时，S的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ；

以上结论正确的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P为 $B C$ 的中点，Q为线段 $C C_{1}$ 上的动点，三棱锥 $Q - A_{1} A P$ 的体积记为 $V_{1}$ ，三棱锥 $C - A_{1} A P$ 的体积记为 $V_{2}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $V_{1} > V_{2}$ B、 $V_{1} = V_{2}$ C、 $V_{1} < V_{2}$ D、 $V_{1}$ 与 $V_{2}$ 的大小关系不能确定

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二、填空题

6. 若 $2 + i$ ( $i$ 是虚数单位)是关于x的实系数方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，则 $m + n$ 等于.

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7. 已知直线 $l_{1} : x + a y = 1$ ， $l_{2} : a x + y = 2$ ，若 $l_{1}$ ∥ $l_{2}$ ，则实数a的值等于.

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8. 在平面直角坐标系中， $A (- 5, 0)$ ， $B (5, 0)$ ，若 $||P A| - |P B|| = 8$ ，则P点的轨迹方程为.

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9. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A D = 1$ ， $A B = 2$ ，则直线 $A C$ 与 $A_{1} D$ 所成的角的大小等于.

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10. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点且与对称轴垂直的弦长为．

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11. 如图，以长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 $D$ 为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 $\vec{D B_{1}}$ 的坐标为 $(5 ， 4 ， 3)$ ，则 $\vec{D_{1} B}$ 的坐标为.

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12. 一个袋中装有9个形状大小完全相同的球，球的编号为1，2， $\cdot \cdot \cdot$ ，9，随机摸出两个球，则两个球编号之和为奇数的概率是.(结果用分数表示)

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13. 已知 $(1 + x) + {(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + {(1 + x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{3}$ 的值为.

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14. 棱长为a的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点A到截面 $B_{1} C D$ 的距离等于.

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 ${\begin{array}{l} x = a - t \\ y = t \end{array}$ ( $t$ 为参数)与圆 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos θ \\ y = \sin θ \end{array}$ ( $θ$ 为参数)相切，则实数a的值为.

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16. 我们知道：用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中， $A B$ ､ $C D$ 是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线 $P B$ 的中点，已知过 $C D$ 与 $E$ 的平面与圆锥侧面的交线是以W为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于.

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17. 已知点 $P (- 1 ， 0)$ ，圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 9$ 上的两个点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ､ $B (x_{2} ， y_{2})$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{P B}$ ( $λ \in R$ )，则 $\frac{| 3 x_{1} + 4 y_{1} - 25 |}{5} + \frac{| 3 x_{2} + 4 y_{2} - 25 |}{5}$ 的最大值为.

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18. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点到准线的距离等于.

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19. 求圆 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的点到直线 $3 x + 4 y - 23 = 0$ 的距离的最大值.

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三、解答题

20. 已知i是虚数单位，复数 $z = \frac{{(1 - i)}^{3} {(1 + 2 i)}^{2}}{3 - 4 i}$ 满足方程 $| z |^{2} + \bar{z} - z = a + b i$ ( $a, b \in R$ )，求实数a､b的值.

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21. 已知双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $b > 0$ )，直线l与 $Γ$ 交于P､Q两点.

(1)、若点 $(3, 0)$ 是双曲线 $Γ$ 的一个焦点，求 $Γ$ 的渐近线方程；

(2)、若点P的坐标为 $(- 1, 0)$ ，直线 $l$ 的斜率等于1，且 $| P Q | = \frac{8 \sqrt{2}}{3}$ ，求双曲线 $Γ$ 的渐近线方程.

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22. 已知三棱锥 $P - A B C$ (如图一)的平面展开图(如图二)中， $A B C D$ 为边长等于 $\sqrt{2}$ 的正方形，△ $A B E$ 和△ $B C F$ 均为正三角形，在三棱锥 $P - A B C$ 中，

(1)、求证： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、求 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成的角的大小；

(3)、求二面角 $B - P A - C$ 的大小.

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23. 焦距为 $2 c$ 的椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )，如果满足“ $2 b = a + c$ ”，则称此椭圆为“等差椭圆”.

(1)、如果椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )是“等差椭圆”，求 $\frac{b}{a}$ 的值；

(2)、如果椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )是“等差椭圆”，过 $D (0 ， a)$ 作直线 $l$ 与此“等差椭圆”只有一个公共点，求此直线的斜率；

(3)、椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )是“等差椭圆”，如果焦距为12，求此“等差椭圆”的方程；

(4)、对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点(Q也异于A)，直线 $A P$ ､ $A Q$ 分别与x轴交于M､N两点，判断以线段 $M N$ 为直径的圆是否过定点？说明理由.

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24. 定义空间点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离.

(1)、在空间，求与定点O距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积；

(2)、在空间，线段 $A B$ (包括端点)的长等于1，求到线段 $A B$ 的距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积；

(3)、在空间，记边长为1的正方形 $A B C D$ 区域(包括边界及内部的点)为 $Ω$ ，求到 $Ω$ 距离等于1的点所围成的几何体的体积和表面积.

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