河南省南阳市新野县2020年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2020-08-18 类型：中考模拟

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一、选择题

1. 我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米 $= 10^{- 9}$ 米，用科学记数法将16纳米表示为（）

A、 $16 \times 10^{- 8}$ B、 $1.6 \times 10^{- 7}$ C、 $1.6 \times 10^{- 8}$ D、 $0.16 \times 10^{- 8}$

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2. 直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，一块含 $45 °$ 角的直角三角板，如图放置， $∠ 1 = 42 °$ ，则 $∠ 2$ 等于（）

A、 $97 °$ B、 $93 °$ C、 $87 °$ D、 $83 °$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ B、 $a \cdot a^{3} + a^{2} \cdot a^{2} = 2 a^{4}$ C、 $\sqrt{a^{2}} = a$ D、 ${(a^{4} b)}^{3} = a^{7} b^{3}$

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4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 一元二次方程 $x^{2} - m x - 1 = 0$ 根的情况是（）

A、有两个相等实根 B、有两个不相等实根 C、无实根 D、无法判定

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6. 根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误的是（）

A、扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比 B、每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50% C、每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20% D、每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°

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7. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ .以点 $C$ 为圆心，适当长为半径面弧，交 $B C$ 于点 $P$ ，交 $C D$ 于点 $Q$ ，再分别以点 $P$ 、 $Q$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} P Q$ 的长为半径面弧，两弧相交于点 $N$ ，射线 $C N$ 交 $B A$ 的延长线于点 $E$ ，则 $A E$ 的长是（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、1 D、2

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8. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 2$ ，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）

A、有最大值﹣1，有最小值﹣2 B、有最大值0，有最小值﹣1 C、有最大值7，有最小值﹣1 D、有最大值7，有最小值﹣2

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9. 在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形 $O A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $45 °$ 后得到正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依此方式，绕点 $O$ 连续旋转 $2020$ 次得到正方形 $O A_{2020} B_{2020} C_{2020}$ ，那么点 $A_{2020}$ 的坐标是（）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(1 ， 0)$

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二、填空题

10. 计算： $- \sqrt{9} - π^{0} =$ .

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11. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 1 \geq - 1 \\ 4 + 2 x > 3 x \end{array}$ 的最小正整数解为 .

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12. 某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，顾客每次摸出一个球，若摸到红球，则获得1份奖品，若摸到黑球，则没有奖品，如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），小芳获得2份奖品的概率为 .

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13. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝75°，以C为旋转中心将△ABC顺时针旋转，当点B落在AB上点D处时，点A的对应点为E，则阴影部分面积为.

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14. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△ECF为直角三角形时，AP的长为.

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三、解答题

15. 先化简，再求值： $(\frac{x - 1}{x^{2} + x} - \frac{x - 3}{x^{2} - 1}) \div (\frac{2 x^{2} + x + 1}{x^{2} - x} - 1)$ ，从 $- 1 \leq x < 3$ 中的整数中选一个作为 $x$ 的值，求出这个代数式的值.

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16. 红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分.现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数据如下：

1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100；

2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90；

3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100.

整理数据：

分数人数班级	60	70	80	90	100
1班	0	1	6	2	1
2班	1	1	3	$a$	1
3班	1	1	4	2	2

分析数据：

	平均数	中位数	众数
1班	83	80	80
2班	83	$c$	$d$
3班	$b$	80	80

根据以上信息回答下列问题：

(1)、请直接写出表格中

a, b, c, d

的值；

(2)、比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由；

(3)、为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共570人，试估计需要准备多少张奖状？

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17. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上一点，点 $D$ 是 $\overset{⌢}{C B}$ 的中点，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线，与 $A B$ 、 $A C$ 的延长线分别交于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $A D$ .

(1)、求证： $A F ⊥ E F$ ；

(2)、直接回答：①已知 $A B = 4$ ，当 $B E$ 为何值时， $A C = C F$ ？
②连接 $B D$ 、 $C D$ 、 $O C$ ，当 $∠ E$ 等于多少度时，四边形 $O B D C$ 是菱形？

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18. 某数学兴趣小组要测量实验大楼上的显示屏 $C D$ 的高度，如图①所示，在地面上的点 $A$ 处测得大楼显示屏的顶端 $C$ 点的仰角为 $45 °$ ，底端 $D$ 点的仰角为 $30 °$ ，从 $A$ 开始向前走20米到达 $B$ 处，测得顶端 $C$ 的仰角为 $63.4 °$ ，如图②所示， $A$ 、 $B$ 、 $E$ 在一条直线上，求显示屏 $C D$ 的高度约为多少米？（精确到1米）

（参考数据： $\sin 63.4 ° \approx 0.89$ ， $\cos 63.4 ° \approx 0.45$ ， $\tan 63.4 ° \approx 2.00$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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19. 开学前夕，某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费125元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋各4个共花费90元.

(1)、求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；

(2)、若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式；

②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值.

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20. 某班数学兴趣小组对函数

y = \frac{6}{| x |}

的图象和性质将进行了探究，探究过程如下，请补充完整.

(1)、自变量

x

的取值范围是除0外的全体实数，

x

与

y

的几组对应值列表如下：

$x$	…	$- 6$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	1	2	3	6	…
$y$	…	1	2	$m$	6	1	3	2	1	…

其中， $m =$ .

(2)、根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.

(3)、观察函数图象，写出一条函数性质.

(4)、进一步探究函数图象发现：

①函数图象与 $x$ 轴交点情况是，所以对应方程 $\frac{6}{| x |} = 0$ 的实数根的情况是.

②方程 $\frac{6}{| x |} = 2$ 有个实效根；

③关于 $x$ 的方程 $\frac{6}{| x |} = a$ 有2个实数根， $a$ 的取值范围是.

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21.

(1)、问题发现：如图1，在等边 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 为 $B C$ 边上一动点， $D E / / A B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，将 $A D$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $D F$ ，连接 $C F$ .则 $A E$ 与 $F C$ 的数量关系是， $∠ A C F$ 的度数为.

(2)、拓展探究：如图2，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边上一动点， $D E / / A B$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，当∠ADF=∠ACF=90°时，求 $\frac{A E}{F C}$ 的值.

(3)、解决问题：如图3，在 $Δ A B C$ 中， $B C ： A B = m$ ，点 $D$ 为 $B C$ 的延长线上一点，过点 $D$ 作 $D E / / A B$ 交 $A C$ 的延长线于点 $E$ ，直接写出当 $∠ A D F = ∠ A C F = ∠ A B C$ 时 $\frac{A E}{F C}$ 的值.

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22. 如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M.

(1)、求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

(2)、已知点F（0， $\frac{1}{2}$ ），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

(3)、点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

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