上海市曹杨二中2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知直角坐标系 $x O y$ 平面上的直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 经过第一、第二和第四象限，则 $a, b$ 满足（）

A、 $a > 0, b > 0$ B、 $a > 0$ ， $b < 0$ C、 $a < 0$ ， $b < 0$ D、 $a < 0$ ， $b < 0$

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2. 复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ ， $m = (z + \bar{z}) b$ ， $n = z \cdot \bar{z}$ ， $p = {| z |}^{2}$ ，则（）

A、m、n、p三数都不能比较大小 B、m、n、p三数的大小关系不能确定 C、 $m \leq n = p$ D、 $m \geq n = p$

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3. 设复数 $z = a + b i (a > 0, b \neq 0)$ 是实系数方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的根，又 $z^{3}$ 为实数，则点 $(p, q)$ 的轨迹在一条曲线上，这条曲线是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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4. 已知 $\overset{⇀}{a}$ 、 $\overset{⇀}{b}$ 、 $\overset{⇀}{e}$ 是平面向量， $\overset{⇀}{e}$ 是单位向量．若非零向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{e}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，向量 $\overset{⇀}{b}$ 满足 ${\overset{⇀}{b}}^{2} - 4 \overset{⇀}{e} \cdot \overset{⇀}{b} + 3 = 0$ ，则 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ 的最小值是（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{3} + 1$ C、2 D、 $2 - \sqrt{3}$

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二、填空题

5. 已知复数 $z = 1 - \sqrt{2} i$ ，则 $| z | =$ .

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6. 如果复数 $(m^{2} + i) (1 + m i)$ 是实数，则实数 $m =$ ．

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7. 若a、 $b \in R$ ，且 $(a + i) i = b + i$ ，则 $a + b =$ .

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8. 直线 $l_{1} ： x - y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x - y + 5 = 0$ 之间的距离是．

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9. 若复数 $z$ 同时满足 $z - \bar{z} = 2 i$ ， $\bar{z} = iz$ ，则 $z =$ ．

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10. 若抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点M到焦点的距离等于2，则M到坐标原点O的距离等于.

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11. 若方程 $x^{2} + y^{2} - x + y + m = 0$ 表示一个圆，则实数m的取值范围是.

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12. 过点 $P (3, - 2)$ 且与直线 $2 x + y + 1 = 0$ 垂直的直线方程是.

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13. 已知点M( $\sqrt{3}$ ，0)，椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 与直线y＝k(x＋ $\sqrt{3}$ )交于点A，B，则△ABM的周长为.

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14. 设 $A (1 ， 2)$ ， $B (- 3 ， 1)$ ，若直线 $y = k x - 2$ 与线段 $A B$ 有公共点，则实数k的取值范围是.

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与C的两条渐近线分别交于A、B两点，若 $\overset{⇀}{F_{1} A} = \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{F_{1} B} \cdot \overset{⇀}{F_{2} B} = 0$ ，则C的渐近线方程为.

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16. 曲线C是平面内与两个定点 $F_{1} (- 1, 0)$ 和 $F_{2} (1, 0)$ 的距离的积等于常数 $a^{2} (a > 1)$ 的点的轨.给出下列四个结论：①曲线 $C$ 过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则 $| P F_{1} | + | P F_{2} | < 2 a$ ；④若点P在曲线C上，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积 $S \leq \frac{1}{2} a^{2}$ .其中，所有正确的序号是.

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三、解答题

17. 设 $α, β$ 分别是方程 $x^{2} + 2 x + a = 0$ $(a \in R)$ 的两个虚数根.

(1)、求a的取值范围及 $| α | + | β |$ 的值；

(2)、若 $| α - β | = 4$ ，求a的值.

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18. 已知 $Δ A B C$ 的三个顶点 $A (m, n)$ 、 $B (2, 1)$ 、 $C (- 2, 3)$ .

(1)、求 $B C$ 边所在直线的方程；

(2)、 $B C$ 边上中线 $A D$ 的方程为 $2 x - 3 y + 6 = 0$ ，且 $S_{Δ A B C} = 7$ ，求点A的坐标.

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19. 已知直线 $l : y = x + m$ ， $m \in R$ .

(1)、若以点 $M (2, 0)$ 为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；

(2)、若直线l与抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 有且仅有一个公共点，求m的取值范围.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m^{2}} + y^{2} = 1$ （常数 $m > 1$ ），点P是C上的动点，M是右顶点，定点 $A$ 的坐标为 $(2, 0)$ ．

(1)、若M与A重合，求C的焦点坐标；

(2)、若 $m = 3$ ，求 $| P A |$ 的最大值与最小值；

(3)、若 $| P A |$ 的最小值为 $| M A |$ ，求m的取值范围．

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21. 已知直线 $l_{1} ： y = x$ 及直线 $l_{2} ： y = - x$ .平面上动点 $M (x ， y)$ ，且 $| x | > | y |$ ，记M到直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的距离分别为 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ ，满足： $d_{1} \cdot d_{2} = \frac{a^{2}}{2} (a > 0)$ .

(1)、求动点M的轨迹 $Γ$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 的方向向量为 $(1 ， 2)$ ，过 $(\sqrt{2} a ， 0)$ 的直线l与曲线 $Γ$ 交于A、B两点，问以 $A B$ 为直径的圆是否恰过原点O？若是，求a的值；若不是，判断原点在圆内还是圆外，并说明理由？

(3)、若过原点O作斜率为k的直线 $n$ 交曲线 $Γ$ 于M、N两点，设 $P (0 ， 1)$ ，求 $△ P M N$ 的面积S关于k的函数解析式，并求S的取值范围.

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