广东省广州市八区2019-2020学年高二下学期数学期末教学质量检测是

试卷更新日期：2020-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数z满足 $z (1 - i) = 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $1 + i$

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2. 已知随机变量 $X ~ B (4, \frac{1}{3})$ ，那么随机变量X的均值 $E (X) =$ （）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、 $\frac{8}{3}$

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3. 为研究某地区中学生的性别与阅读量的关系，运用 $2 \times 2$ 列联表进行独立性检验，经计算 $K^{2} = 6.705$ ，则所得的结论是：有______把握认为“该地区中学生的性别与阅读量有关系”（）
附表：

$P (K^{2} \geq k_{0})$

0.10

0.025

0.01

0.001

$k_{0}$

2.706

5.024

6.635

10.828

A、0.1% B、1% C、99% D、99.9%

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4. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.8$ ，则 $P (2 < X < 4) =$ （）

A、0.8 B、0.6 C、0.4 D、0.2

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5. 设函数 $f (x) = e^{x} + 1$ 的图象与y轴相交于点Q，则曲线 $y = f (x)$ 在点Q处的切线方程（）

A、 $y = 2 x + 2$ B、 $y = 2 x + 1$ C、 $y = x + 1$ D、 $y = x + 2$

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6. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，我国古代的数学家赵爽创制了一幅“股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成大正方形，若直角三角形中较小的锐角 $α$ 的正切值为 $\frac{3}{5}$ ，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形概率是（）

A、 $\frac{1}{25}$ B、 $\frac{2}{17}$ C、 $\frac{4}{25}$ D、 $\frac{9}{34}$

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7. 现有A、B、C、D、E五人，随意并排站成一排，那么A、B相邻且B在A左边的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A C$ 与 $B D$ 的交点为O，点M在 $B C^{'}$ 上，且 $B M = 2 M C^{'}$ ，则下列向量中与 $\vec{O M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{7}{6} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{A A^{'}}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A D} + \frac{1}{3} \vec{A A^{'}}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{A A^{'}}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{6} \vec{A D} + \frac{1}{3} \vec{A A^{'}}$

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9. 在 ${(x + 2)}^{6}$ 展开式中，二项式系数的最大值为m，含 $x^{4}$ 的系数为n，则 $\frac{n}{m} =$ （）

A、3 B、4 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10. 已知某三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，正视图如图所示．若该三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）

A、 $18 π$ B、 $\frac{121}{8} π$ C、 $6 π$ D、 $\frac{121}{24} π$

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11. 在正方体的8个顶点中，以任意4个顶点为顶点的三棱锥，共有（）

A、52个 B、54个 C、58个 D、62个

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12. 设函数 $f^{'} (x)$ 是奇函数 $f (x)$ $(x \in R)$ 的导函数， $f (2) = 0$ ，当 $x < 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ 则使得 $f (x) < 0$ 成立的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， 2)$ B、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ D、 $(- 2 ， 0) \cup (2 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 某高中的三个年级共2700名学生，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为135的样本．已知高一年级有 $940$ 名学生，高二年级有900名学生，则在高三年级应抽取名学生．

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14. 在 ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + \dots + {(1 + x)}^{8}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 项的系数是.

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15. 若函数 $e^{x} f (x)$ （ $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数）在 $f (x)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $f (x)$ 具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为．
① $f (x) = 2^{- x}$ ② $f (x) = x^{3}$ ③ $f (x) = x^{2} + 2$ ④ $f (x) = \ln x$

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三、双空题

16. 设O是原点，向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 对应的复数分别为 $2 - 3 i$ ， $- 3 + 2 i$ ，那么向量 $\vec{B A}$ 对应的复数的实部为，虚部为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 3$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3 ， 5]$ 上的最大值与最小值．

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $A D = 3$ ， $P A = B C = 4$ ， $M$ 为线段 $A D$ 上一点， $A M = 2 M D$ ，N为 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $∠ A D C = 90 °$ ， $D C = \sqrt{19}$ ，求点A到平面 $P M C$ 的距离．

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19. 如图是某地区2000年至2019年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2020年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量 $t$ 的两个线性回归模型．根据2000年至2019年的数据（时间变量 $t$ 的值依次为1，2， $\dots$ ，20）建立模型①：
$\hat{y} = - 38.3 + 14.7 t$ ；根据2010年至2019年的数据（时间变量t的值依次为1，2， $\dots$ ，10）建立模型②： $\hat{y} = 98.6 + 17.6 t$ ．

(1)、分别利用这两个模型，求该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值；

(2)、你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

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20. 如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A D = 1$ ， $A B = 2$ ，将 $Δ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使得平面 $A^{'} B C ⊥$ 平面 $A^{'} B D$ ，如图2．

图1 图2

(1)、证明： $A^{'} D ⊥$ 平面 $B C D$ ；

(2)、在线段 $A^{'} C$ 上是否存在点M，使得二面角 $M - B D - C$ 的大小为 $45 °$ ？若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由．

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21. 某超市计划在九月订购一种时令水果，每天进货量相同，进货成本每个8元，售价每个12元（统一按个销售）．当天未售出的水果，以每个4元的价格当天全部卖给水果罐头厂根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： $^{\circ} C$ ）有关.如果最高气温不低于30，需求量为500个；如果最高气温位于区间 $[25, 30)$ ，需求量为 $350$ 个；如果最高气温低于25，需求量为200个．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温

$[15, 20)$

$[20, 25)$

$[25, 30)$

$[30, 35)$

$[35, 40)$

天数

4

14

36

21

15

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

(1)、求九月份这种水果一天的需求量X（单位：个）的分布列．

(2)、设九月份一天销售这种水果的利润为Y（单位：元）．当九月份这种水果一天的进货量n（单位：个）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

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22. 已知函数 $f (x) = a x \ln x - x^{2} - a x$ $(a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，判断函数 $f (x)$ 是否有极值，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) < x_{2}^{2} - 3 x_{1}^{2}$ ．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.025	0.01	0.001
$k_{0}$	2.706	5.024	6.635	10.828

最高气温	$[15, 20)$	$[20, 25)$	$[25, 30)$	$[30, 35)$	$[35, 40)$
天数	4	14	36	21	15