广东省东莞市2019-2020学年高二下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2020-08-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数z满足 $z = i (3 + 4 i)$ (i为虚数单位)，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、5 D、25

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2. 函数 $f (x) = (x + 2) e^{x}$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty ， 3)$ B、 $(0 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 0)$ D、 $(- 3 ， + \infty)$

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3. 广东省实施“3+1+2”的新高考改革模式，“3”指全国统一高考的语文､数学､外语，“1”指物理､历史2门中选择1门，“2”指思想政治､地理､化学､生物4门中选择2门. 已知甲选择物理，乙选择地理，则甲乙两人有（）不同的选择组合方案.

A、12种 B、18种 C、36种 D、48种

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4. 一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件A为“第一次取出白球”，事件B为“第二次取出黑球”，则概率 $P (B | A) =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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5. 已知 $a, b \in R$ ， $i$ 为虚数单位， $(2 + i) (2 - b i) = a$ ，则 $a + b =$ （）

A、6 B、4 C、2 D、1

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6. 设函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 图象如下图，则函数 $y = f (x)$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下表是某产品的广告费用x（万元）与收益y（万元）的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y关于x的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.7 x + 0.35$ ，那么表中m的值为（）

x

3

4

5

6

y

2.5

3

m

4.5

A、4 B、3 C、2.5 D、2

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8. 东莞近三年连续被评为“新一线城市”，“东莞制造”也在加速转型升级步伐，现有4个项目由东莞市政府安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，其中项目A和B不能安排在同一个地区，则不同的安排方式有（）

A、4种 B、8种 C、12 种 D、16种

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9. 随机变量 $X$ 的分布列如下表所示，则 $E (2 X - 1) =$ （）

X

-2

-1

1

P

$\frac{1}{6}$

a

$\frac{1}{3}$

A、0 B、 $- \frac{1}{2}$ C、-1 D、-2

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10. 组合恒等式 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ ，可以利用“算两次”的方法证明：分别求 ${(1 + x)}^{n + 1}$ 和 $(1 + x) {(1 + x)}^{n}$ 的展开式中 $x^{m}$ 的系数.前者 ${(1 + x)}^{n + 1}$ 的展开式中 $x^{m}$ 的系数为 $C_{n + 1}^{m}$ ；后者 $(1 + x) {(1 + x)}^{n}$ 的展开式 $(1 + x) (C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + \dots + C_{n}^{m - 1} x_{}^{m - 1} + C_{n}^{m} x^{m} + \dots + C_{n}^{n} x_{}^{n})$ 中 $x^{m}$ 的系数为 $1 \times C_{n}^{m} + 1 \times C_{n}^{m - 1}$ .因为 ${(1 + x)}^{n + 1} = (1 + x) {(1 + x)}^{n}$ ，所以两个展开式中 $x^{m}$ 的系数相等，即 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ .请用“算两次”的方法化简式子 $C_{n}^{0} C_{n}^{n} + C_{n}^{1} C_{n}^{n - 1} + \dots + C_{n}^{n} C_{n}^{0} =$ （）

A、 $C_{2 n}^{n}$ B、 $C_{2 n}^{n + 1}$ C、 $C_{2 n + 1}^{n}$ D、 $C_{2 n + 1}^{n + 1}$

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二、多选题

11. 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布 $N (μ, 30^{2})$ 和 $N (280, 40^{2})$ ，则下列选项正确的是（）
附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6826$ .

A、若红玫瑰日销售量范围在 $(μ - 30, 280)$ 的概率是 $0.6826$ ，则红玫瑰日销售量的平均数约为250 B、红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中 C、白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中 D、白玫瑰日销售量范围在 $(280, 320)$ 的概率约为0.3413

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12. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ，若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ B、 $x_{1} + f (x_{1}) < x_{2} + f (x_{2})$ C、 $x_{2} f (x_{1}) < x_{1} f (x_{2})$ D、当 $x_{2} > x_{1} > \frac{1}{e}$ 时， $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) > x_{2} f (x_{1}) + x_{1} f (x_{2})$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = 2 e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为.

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14. 二项式 ${(x^{2} + \frac{1}{x^{3}})}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{7}$ 的系数为．

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15. 有一种游戏，其规则为：每局游戏进行两轮积分，玩家先从标有1､2､3､4的4张卡片中随机抽取一张卡片，将卡片上数字的相反数作为得分；再从标有1､2､3､4的4张卡片中随机抽取两张卡片，将两张卡片数字之差的绝对值的1.2倍作为得分.则玩家玩一局游戏的得分期望为.

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四、双空题

16. 已知8份血液样本中有一份病毒检验呈阳性，现先取其中4份混合检测，如果呈阳性，再逐份检测这4份，直到检测出阳性样本；如果呈阴性，则再对另外4份逐份检测，直到检测出阳性样本.则混合样本呈阳性的概率为，恰好3次检测出阳性样本的概率为.

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五、解答题

17. 已知复数 $z = (m^{2} - 3 m + 2) + (m - 1) i$ (i为虚数单位).

(1)、若z是纯虚数，求实数 $m$ 的值；

(2)、在复平面内，若z所对应的点在直线 $y = 2 x + 1$ 的上方，求实数m的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \ln x - 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的极大值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上的最值.

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19. 为提高全民身体素质，加强体育运动意识，某校体育部从全校随机抽取了男生､女生各100人进行问卷调查，以了解学生参加体育运动的积极性是否与性别有关，得到如下列联表(单位：人)：

	经常运动	偶尔运动或不运动	合计
男生	70	30	100
女生	60	40	100
合计	130	70	200

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024

(1)、根据以上数据，判断能否在犯错误的概率不超过

10 %

的情况下认为该校参加体育运动的积极性与性别有关；

(2)、用频率估计概率，现从该校所有女生中随机抽取3人.记被抽取的

3

人中“偶尔运动或不运动”的人数为X，求X的分布列､期望

E (X)

和方差

D (X)

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} (a - 1) x^{2} + b x ，$ 其中 $a ， b \in R ， a > 0$ .

(1)、若 $a = 3$ 且函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， + \infty)$ 上单调递增，求实数b的取值范围；

(2)、若 $f' (x) \leq e^{x} - x + x^{2}$ ，求 $a b$ 的最大值.

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21. 某景区有A，B两个出入口，在景区游客中随机选取了100人作为样本进行调查，调查结果显示从A出入口进入景区的有55人，从B出入口进入景区的有45人，

(1)、从上述样本中选取2人，求两人恰好从不同出入口进入景区的概率；

(2)、为了给游客提供更舒适的旅游体验，景区计划在今年国庆节当日投入1到3列往返两个景区出入口的通勤小火车，根据过去5年的数据资料显示，每年国庆节当日客流量 $X$ (单位：万人)的频数表如下：

国庆节当日客流量X

$1 \leq X < 3$

$3 \leq X < 5$

$X \geq 5$

频数

1

2

2

以这5年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间发生的概率，且每年国庆节当日客流量相互独立.已知国庆节当日小火车的使用量(单位：列)受当日客流量 $X$ (单位：万人)的影响，其关系如下表：

国庆节当日客流量X

$1 \leq X < 3$

$3 \leq X < 5$

$X \geq 5$

小火车的使用量

1

2

3

若某列小火车在国庆节当日投入且被使用，则景区当日可获得利润3万元；若某列小火车在国庆节当日投入却未被使用，则景区当日亏损0.5万元；记 $Y$ (单位：万元)表示该景区在国庆节当日获得的总利润，则该景区在今年国庆节当日应投入多少列小火车才能使获得利润的期望最大？

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{1}{a x} - \frac{1}{a} (a \in R ， a \neq 0)$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in [1 ， e^{2}]$ 时，试讨论方程 $(\ln x - 1) \frac{e^{x}}{x} = \frac{m}{x} - 1$ 的根的个数.

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国庆节当日客流量X	$1 \leq X < 3$	$3 \leq X < 5$	$X \geq 5$
频数	1	2	2

x	3	4	5	6
y	2.5	3	m	4.5

X	-2	-1	1
P	$\frac{1}{6}$	a	$\frac{1}{3}$