2021高考一轮复习第三十九讲基本不等式

试卷更新日期：2020-08-18 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 正实数x，y满足 $2 x + y = 1$ ，则 $x y$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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2. 若x＞0，则 $x + \frac{1}{2 x^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt[3]{2}$ B、 $\sqrt[3]{3}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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3. 已知正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 3$ ，则 $\frac{4}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值（）

A、2 B、3 C、4 D、 $\frac{10}{3}$

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4. 下列表述正确的是（）
① ${(\lg x + \frac{4}{\lg x})}_{\min} = 4 (x \in (1, 20))$ ；②若 $a > b > 0$ ，则 $\ln \frac{b}{a} < 0$ ；③若 $x$ ， $y$ ， $z$ 均是正数，且 $3^{x} = 4^{y} = 12^{z}$ ， $\frac{x + y}{z} \in (n, n + 1) (n \in N)$ ，则 $n$ 的值是 $4$ ；④若正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y + 15 = \frac{1}{x} + \frac{9}{y}$ ，且 $x + y \leq 1$ ，则 $x$ ， $y$ 均为定值

A、①②③ B、②④ C、②③ D、②③④

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5. 设 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若 $\sqrt{3}$ 是 $3^{a}$ 与 $3^{b}$ 的等比中项，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 最小值为（）

A、4 B、3 C、1 D、 $\frac{1}{4}$

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6. 已知 $x > 0$ ，则函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 函数f（x）=（a+1）x²+bx-2（a>0，b>0）在点P（1、f（1））处的切线斜率为4，则 $\frac{8 a + b}{a b}$ 的最小值为（）

A、10 B、9 C、8 D、 $3 \sqrt{2}$

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8. 已知函数f(x)=sinx+ $\frac{1}{\sin x}$ ，则（）

A、f(x)的最小值为2 B、f(x)的图像关于y轴对称 C、f(x)的图像关于直线 $x = π$ 对称 D、f(x)的图像关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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二、多选题

9. 若正实数a，b满足 $a + b = 1$ 则下列说法正确的是（）

A、ab有最大值 $\frac{1}{4}$ B、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 有最小值2 D、 $a^{2} + b^{2}$ 有最大值 $\frac{1}{2}$

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三、填空题

10. 若实数x，y满足x＞y＞0，且log₂x＋log₂y＝1，则 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x - y}$ 的最小值为．

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11. 已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 20$ ，则 $\lg a + \lg b$ 的最大值为．

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12. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 3 b = 1$ ，则 $\frac{4}{a} + \frac{3}{b}$ 的最小值是.

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13. 已知 $a > 1$ ，则代数式 $a + \frac{2}{a - 1}$ 的最小值为.

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14. 若直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 (a > 0, b > 0)$ 始终平分圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 的周长，则 $a + 4 b$ 的最小值为

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15. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 2$ ，若 $2 x + y \geq m^{2} - \frac{3}{2} m$ 恒成立，则实数m的取值范围．

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16. 如果命题 $p ： \forall x > 0$ ， $\frac{4}{x} + 9 x \geq 5 m + 7$ 为真命题，则实数m的取值范围是．

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17. 若正实数x，y满足x+y= $\sqrt{y^{2} + 1}$ ，则2x+y的最小值为。

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18. 已知 $m ， n$ 为正实数，且 $m + n = m n$ ，则 $m + 2 n$ 的最小值为.

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四、解答题

19. 设函数 $f (x) = | x + 2 | + 2 | x - 1 |$ 的最小值为m.

(1)、求m的值

(2)、若a，b，c为正实数，且 $\frac{1}{m a} + \frac{1}{2 m b} + \frac{1}{3 m c} = \frac{2}{3}$ ，求证： $\frac{a}{9} + \frac{2 b}{9} + \frac{c}{3} \geq \frac{1}{2}$

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20. 已知函数 $f (x) = m - | x - 2 |$ ， $m \in R$ ， $g (x) = | x + 3 |$ ．
（Ⅰ）当 $x \in R$ 时，有 $f (x) \leq g (x)$ ，求实数m的取值范围．

（Ⅱ）若不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集为 $[1, 3]$ ，正数 $a$ ， $b$ 满足 $a b - 2 a - b = 3 m - 1$ ，求a+b的最小值．

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21. 在 $△ A B C$ 中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，且 $\sqrt{3} b \cos A = \sin A (a \cos C + c \cos A)$

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ ，求 $\frac{1}{b} + \frac{4}{c}$ 的最小值．

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22. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}^{2} = 4 S_{n} - 2 a_{n} - 1 (n \in N^{*})$ ．数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ， $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前n项和．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、若对任意的 $n \in N^{*}$ ，不等式 $λ T_{n} < n + 8 \cdot {(- 1)}^{n}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围；

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23. $Δ A B C$ 的角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ， $2 \sin 2 C \cos C - \sin 3 C = \sin 2 C$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、求证： $a + b \leq 2 c$ ．

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24.

(1)、已知 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，求 $y = \frac{1}{2} x (1 - 2 x)$ 的最大值；

(2)、已知 $x < 3$ ，求 $f (x) = \frac{4}{x - 3} + x$ 的最大值；

(3)、已知 $x, y \in R^{+}$ ，且 $2 x + 3 y + 12 x y = 4$ ，求 $2 x + 3 y$ 的最小值.

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2021高考一轮复习 第三十九讲 基本不等式

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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